Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.
1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 4 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 4 mP = 40 kN à 4 mw = 4 kN/m de 0 à 4 m
MA = kN·m
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 5 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 10 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 9 m de A, une charge uniformément répartie w sur toute la partie CD et une charge ponctuelle Q à 3 m de A. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
AC = 5 mAD = 10 mP = 35 kN à 9 mw = 8 kN/m de 5 à 10 mQ = 15 kN à 3 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La console est encastrée en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 1,5 m de A. Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 0,5 m à partir de l’encastrement A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 2,5 mP = 65 kN à 1,5 mw = 4 kN/m de 0 à 2,5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 1,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 4 mP = 55 kN à 1,5 mw = 4 kN/m de 0 à 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 3 mB est à 7 m de Acharge verticale = 20 kN
FAB = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 4 mhauteur = 4 mB est à 3 m de Acharge verticale = 35 kNcharge horizontale = 25 kN ←
FBC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1,5 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 14 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δmax.
P = 9 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 125 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 125 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 192 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge répartie
W = 4·4 = 16 kN, x̄ = 2 m
Moment par rapport au mur
MA = P·a + W·x̄ = 40·4 + 16·2 = 192 kN·m
Réponse
MA = 192 kN·m
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 180 kN·m
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.
Partie CD
L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.
W = 8·5 = 40 kN à 2,5 m depuis C
ΣMC = 0: RD·5 = 35·4 + 40·2,5
RD = 48 kN
VC = 75 − 48 = 27 kN
Partie AC
L’effort de l’articulation VC agit vers le bas sur AC (égal et opposé à son action sur CD).
RA = 15 + 27 = 42 kN
MA = 15·3 + 27·5 = 180 kN·m
Réponse
MA = 180 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = −73 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Garder la partie côté extrémité libre
P: −65·1 = −65 kN·m
w: −4·2²/2 = −8 kN·m
Mx = −65 − 8 = −73 kN·m
Réponse
Mx = −73 kN·m
Négatif signifie flexion négative : la face supérieure est tendue.
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 59,06 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, appliquée en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1,5 + 4·4·2
RB = 114,5/4 = 28,63 kN
ΣFy = 0: RA = 71 − 28,63 = 42,38 kN
Couper en x = 1,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 42,38·1,5 − 4·1,5·0,75 = 59,06 kN·m
Réponse
Mx = 59,06 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAB = −6,346 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·7 → Cy = 17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 17,5 = 2,5 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 3/7,616 = 0,3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2,5/0,3939 = −6,346 kN
Réponse
FAB = −6,346 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FBC = −1,288 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 − 25·4 → Cy = 1,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 1,25 = 33,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 14000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 1,875 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001875 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,688 mm
Réponse
δB = 4,688 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: δmax = 12,52 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 9000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(48EI) = 9000·2000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 5,929 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 6,588 mm
Les additionner
δmax = 5,929 + 6,588 = 12,52 mm
Réponse
δmax = 12,52 mm
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 94,2 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 104,2 mm
Réponse
d = 104,2 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 153,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.