Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 3,5 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

L = 6 mP = 70 kN à 3,5 mw = 6 kN/m de 0 à 6 m

M_A = kN·m

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui vaut 15 kN/m au mur et décroît jusqu’à zéro à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 7 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

L = 10 mw₀ = 15 kN/mP = 80 kN à 7 m

M_A = kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

20 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant positif maximal M_max entre les appuis.

L = 9 mw = 5 kN/m de 0 à 9 mappuis en x = 0 et x = 8 m

M_max = kN·m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 4 mB est à 1 m de Acharge verticale = 20 kN

F_AB = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 1 m de Acharge verticale = 15 kNcharge horizontale = 10 kN →

F_AC = kN

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 125 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/300. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 125 mm

h_req = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 10 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 10 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 353 kN·m

Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale R_A et un moment d’encastrement M_A. ΣF_y = 0 donne R_A, et les moments par rapport au mur donnent M_A = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.

Résultante de la charge répartie

W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m

Moment par rapport au mur

M_A = P·a + W·x̄ = 70·3,5 + 36·3 = 353 kN·m

Réponse

M_A = 353 kN·m

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 810 kN·m

Résultante de la charge triangulaire

W = ½·15·10 = 75 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Moment par rapport au mur

M_A = W·x̄ + P·a = 75·3,333 + 80·7 = 810 kN·m

Réponse

M_A = 810 kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 66,67, M_D = 80 kN·m, M_E = 53,33, M_F = 26,67, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 80 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 38,76 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·9 = 45 kN, appliquée en x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9·4,5

R_B = 202,5/8 = 25,31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,31 = 19,69 kN

Effort tranchant nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 19,69/5 = 3,938 m

Moment positif maximal

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 19,69²/(2·5) = 38,76 kN·m

Réponse

M_max = 38,76 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AB = −15,46 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

Nœud A

Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,9701 = −15,46 kN

Réponse

F_AB = −15,46 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 11,25 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·1 + 10·3 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,7071 = −15,91 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,91)·0,7071 = 11,25 kN

Réponse

F_AC = 11,25 kN (traction)

7.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,002319 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 4·4000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,002319 rad

Réponse

θ_A = 0,002319 rad

Soit 0,1329°.

8.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 264 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,918 × 10⁸ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁸/125)^1/3 = 264 mm

Réponse

h_req = 264 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,412 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Réponse

P_cr = 2,412 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 33,36 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33,36 mm

Réponse

d = 33,36 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 239,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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