Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 1,5 m de A et un couple trigonométrique M à 5 m de A. Trouvez la réaction verticale R_B, en comptant positif vers le haut.

L = 6 mP = 50 kN à 1,5 mM = 50 kN·m (trigonométrique) à 5 m

R_B = kN

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 3 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 8 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 4 m de A, une charge uniformément répartie w sur toute la partie CD et une charge ponctuelle Q à 1 m de A. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

AC = 3 mAD = 8 mP = 80 kN à 4 mw = 6 kN/m de 3 à 8 mQ = 20 kN à 1 m

M_A = kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 2 m10 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez la distance x_c entre A et le point d’inflexion situé entre les appuis (là où le moment fléchissant change de signe).

L = 8,5 mw = 12 kN/m de 0 à 8,5 mappuis en x = 0 et x = 6 m

x_c = m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 1 m de Acharge verticale = 10 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

B: 10 kN ↓C: 35 kN ↓F: 20 kN →G: 20 kN ↓H: 25 kN ↓

1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 23 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 7 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 15 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 15 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 4,167 kN

Moments par rapport à A

Sens trigonométrique positif.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 50·1,5 + 50 = 0

R_B = 25/6 = 4,167 kN

Équilibre vertical

R_A = 50 − 4,167 = 45,83 kN

Réponse

R_B = 4,167 kN

Une réaction négative est dirigée vers le bas.

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 257 kN·m

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.

Partie CD

L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.

W = 6·5 = 30 kN à 2,5 m depuis C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 80·1 + 30·2,5

R_D = 31 kN

V_C = 110 − 31 = 79 kN

Partie AC

L’effort de l’articulation V_C agit vers le bas sur AC (égal et opposé à son action sur CD).

R_A = 20 + 79 = 99 kN

M_A = 20·1 + 79·3 = 257 kN·m

Réponse

M_A = 257 kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 11,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 11,67, M_C = 23,33 kN·m, M_D = 20, M_E = 16,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 23,33 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x_c = 4,958 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·8,5 = 102 kN, appliquée en x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·8,5·4,25

R_B = 433,5/6 = 72,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 102 − 72,25 = 29,75 kN

Moment nul

Entre les appuis, M(x) = R_A·x − w·x²/2. En dehors de x = 0, il s’annule en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·29,75/12 = 4,958 m

Réponse

x_c = 4,958 m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 2,5 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·1 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,7071 = −3,536 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−3,536)·0,7071 = 2,5 kN

Réponse

F_AC = 2,5 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre DH

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud D

CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 106,7 kN (C), GH: 106,7 kN (C), AF: 62,5 kN (C), HE: 87,5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 45,83 kN (T), HC: 45,83 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: DH

7.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 17,17 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 23000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 23000·2500³/(3·8,4 × 10¹²) = 14,26 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 2,906 mm

Les additionner

δ = 14,26 + 2,906 = 17,17 mm

Réponse

δ = 17,17 mm

8.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 2,101 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·2500³/(48·3,99 × 10¹²) = 0,5711 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 1,53 mm

Les additionner

δ_max = 0,5711 + 1,53 = 2,101 mm

Réponse

δ_max = 2,101 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,004 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2100² = 3004 N = 3,004 kN

Réponse

P_cr = 3,004 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 79,43 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 79,43 mm

Réponse

d = 79,43 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 302,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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