Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis (articulation en A, appui simple en B) porte une charge linéairement variable qui croît de zéro en A jusqu’à 12 kN/m en B. Une charge ponctuelle P agit aussi à 4 m de A. Trouvez la réaction d’appui verticale R_B.

L = 10 mw₀ = 12 kN/mP = 20 kN à 4 m

R_B = kN

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 2 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 6 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 3 m de A et une charge ponctuelle Q à 1 m de A. Trouvez la réaction R_D à l’appui simple.

AC = 2 mAD = 6 mP = 30 kN à 3 mQ = 45 kN à 1 m

R_D = kN

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

35 kN @ 8 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant positif maximal M_max entre les appuis.

L = 6,5 mw = 12 kN/m de 0 à 6,5 mappuis en x = 0 et x = 5 m

M_max = kN·m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 2 mB est à 6 m de Acharge verticale = 50 kN

F_BC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 2 mB est à 7 m de Acharge verticale = 25 kNcharge horizontale = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 18 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 48 kN

Résultante de la charge triangulaire

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6,667 + 20·4

R_B = 48 kN

R_A = 80 − 48 = 32 kN

Réponse

R_B = 48 kN

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_D = 7,5 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.

Partie CD

L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 30·1

R_D = 7,5 kN

V_C = 30 − 7,5 = 22,5 kN

Réponse

R_D = 7,5 kN

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 40,83 kN, R₂ = 44,17 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 71,67, M_C = 123,3, M_D = 155, M_E = 166,7 kN·m, M_F = 88,33, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 166,7 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 31,05 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·6,5 = 78 kN, appliquée en x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·6,5·3,25

R_B = 253,5/5 = 50,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 50,7 = 27,3 kN

Effort tranchant nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 27,3/12 = 2,275 m

Moment positif maximal

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 27,3²/(2·12) = 31,05 kN·m

Réponse

M_max = 31,05 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −53,03 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·6 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37,5/0,7071 = −53,03 kN

Réponse

F_BC = −53,03 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AB = −20,48 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 − 10·2 → C_y = 19,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 19,38 = 5,625 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Nœud A

Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5,625/0,2747 = −20,48 kN

Réponse

F_AB = −20,48 kN (compression)

7.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 3,759 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,504 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002256 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,759 mm

Réponse

δ_B = 3,759 mm

8.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,808 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 1,808 × 10⁶ mm⁴

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 154,3 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN

Réponse

P_cr = 154,3 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 21,93 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Réponse

σ_cr = 21,93 MPa

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