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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.
L = 4 mP1 = 50 kN à 1,5 mP2 = 35 kN à 2 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 4 mP = 10 kN à 1 mw = 8 kN/m de 0 à 3 m
RB = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez le moment fléchissant Mx sous la charge P1. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 10 mP1 = 15 kN à 3 mP2 = 20 kN à 10 mappuis en x = 0 et x = 8 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
55 kN @ 0 m45 kN @ 12 m35 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 3 mB est à 6 m de Acharge verticale = 60 kN
FBC = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 6 mhauteur = 2 mB est à 2 m de Acharge verticale = 20 kNcharge horizontale = 20 kN →
FAB = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 30 kNa = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche δmid à mi-portée.
P = 23 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 6 mE = 200 GPa (acier)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 130 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 130 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 48,75 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1,5 + 35·2
RB = 145/4 = 36,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 36,25 = 48,75 kN
Réponse
RA = 48,75 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 11,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 8·3·1,5
RB = 46/4 = 11,5 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 11,5 = 22,5 kN
Réponse
RB = 11,5 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 13,13 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.
ΣMA = 0: RB·8 = 15·3 + 20·10
RB = 245/8 = 30,63 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 30,63 = 4,375 kN
Coupure sous P1 en gardant la partie gauche
Mx = RA·3 = 4,375·3 = 13,13 kN·m
Réponse
Mx = 13,13 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: B (x = 2 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 75 kN, R2 = 60 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −70, MD = −30, ME = −60, MF = −90, MG = 0
Réponse
Repère B: MB = −110 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FBC = −54,08 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·6 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 45 = 15 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·6 = 20·2 + 20·2 → Cy = 13,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 13,33 = 6,667 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,667/0,7071 = −9,428 kN
Réponse
FAB = −9,428 kN (compression)
7.Flèche d’une poutre
Réponse: δB = 15,22 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 2,174 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,003261 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,22 mm
Réponse
δB = 15,22 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: δmid = 35,94 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 80,06 mm
Réponse
d = 80,06 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 174,9, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.