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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge uniformément répartie w du mur jusqu’à 3 m et une charge ponctuelle P à 2 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 5 mP = 20 kN à 2 mw = 3 kN/m de 0 à 3 m
MA = kN·m
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui est nulle au mur et croît jusqu’à 15 kN/m à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 1,5 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 4 mw0 = 15 kN/mP = 40 kN à 1,5 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez l’effort tranchant Vx juste à gauche de l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6 mP1 = 80 kN à 2,5 mP2 = 50 kN à 6 mappuis en x = 0 et x = 5 m
Vx = kN
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 9 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 10 mP = 50 kN à 9 mw = 3 kN/m de 0 à 10 mx = 9 m
Mx = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 4 mB est à 5 m de Acharge verticale = 50 kN
FAB = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1,5 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 4 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δmax.
P = 23 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm
σcr = MPa
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 53,5 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge répartie
W = 3·3 = 9 kN, x̄ = 1,5 m
Moment par rapport au mur
MA = P·a + W·x̄ = 20·2 + 9·1,5 = 53,5 kN·m
Réponse
MA = 53,5 kN·m
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 140 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·15·4 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m
Moment par rapport au mur
MA = W·x̄ + P·a = 30·2,667 + 40·1,5 = 140 kN·m
Réponse
MA = 140 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Vx = −50 kN
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.
ΣMA = 0: RB·5 = 80·2,5 + 50·6
RB = 500/5 = 100 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 100 = 30 kN
Coupure juste à gauche de B en gardant la partie gauche
Vx = RA − P1 = 30 − 80 = −50 kN
Réponse
Vx = −50 kN
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 58,5 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, appliquée en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·9 + 3·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 60 = 20 kN
Couper en x = 9 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 20·9 − 3·9·4,5 = 58,5 kN·m
Réponse
Mx = 58,5 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAB = −30,01 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 → Cy = 31,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31,25 = 18,75 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,6247 = −30,01 kN
Réponse
FAB = −30,01 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre BF
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud B
AB et BC sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 4000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 7,563 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,007563 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,34 mm
Réponse
δB = 11,34 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: δmax = 2,639 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 23000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(48EI) = 23000·2000³/(48·2,4 × 10¹²) = 1,597 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,042 mm
Les additionner
δmax = 1,597 + 1,042 = 2,639 mm
Réponse
δmax = 2,639 mm
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 29,84 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.