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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.
L = 5 mP1 = 60 kN à 2 mP2 = 60 kN à 3,5 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 4 mP = 15 kN à 1 mw = 5 kN/m de 1 à 4 m
RB = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre sur deux appuis porte un couple M0 = 40 kN·m dans le sens horaire en x = 2 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant Mx juste à droite du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 5 mM0 = 40 kN·m dans le sens horaire, en 2 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
10 kN @ 6 m60 kN @ 1 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 6 mhauteur = 2 mB est à 5 m de Acharge verticale = 55 kN
FAC = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 6 mhauteur = 2 mB est à 2 m de Acharge verticale = 15 kNcharge horizontale = 5 kN →
FBC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 3 m de l’appui A. Trouvez la flèche δP sous la charge.
P = 2 kNa = 3 mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 3,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δmax de la poutre.
P = 13 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 10 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 10 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 54 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·5 = 60·2 + 60·3,5
RB = 330/5 = 66 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 66 = 54 kN
Réponse
RA = 54 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 13,13 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1 + 5·3·2,5
RB = 52,5/4 = 13,13 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 13,13 = 16,88 kN
Réponse
RB = 13,13 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 24 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.
Réactions d’appui
Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : RB·L − M0 = 0. Équilibre vertical : RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/5 = 8 kN (vers le haut)
RA = −RB = −8 kN (vers le bas)
Coupure juste à droite du couple
La partie gauche contient maintenant RA et le couple.
Mx = RA·a + M0 = −8·2 + 40 = 24 kN·m
Réponse
Mx = 24 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: B (x = 1 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 40 kN, R2 = 30 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = 40 kN·m, MC = 20, MD = 0, ME = −20, MF = −10, MG = 0
Réponse
Repère B: MB = 40 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAC = 22,92 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·6 = 55·5 → Cy = 45,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 45,83 = 9,167 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 + 5·2 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 6,667 = 8,333 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 2000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²
Flèche sous la charge
δP = Pa²b²/(3EIL) = 2000·3000²·1000²/(3·9,24 × 10¹¹·4000) = 1,623 mm
Réponse
δP = 1,623 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: δmax = 77,17 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 13000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²
Position du maximum
En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.
x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm
Flèche maximale
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 77,17 mm
Réponse
δmax = 77,17 mm
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 3,312 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 45,08 mm
Réponse
d = 45,08 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 355, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.