Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d

Méthode

  1. Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
  2. Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
  3. Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
  4. Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
  2. Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
  3. Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
  4. Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?1 m0,5 m4,5 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.

L = 6 mP1 = 60 kN à 1 mP2 = 45 kN à 1,5 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m2 m3 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.

L = 10 mP = 50 kN à 7 mw = 3 kN/m de 4 à 5 m
RA = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
w = 8 kN/mABcoupe0,5 m3,5 m

Trouvez l’effort tranchant Vx dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mw = 8 kN/m de 0 à 4 mx = 0,5 m
Vx = kN
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
w = 12 kN/mP = 10 kNAB2,5 m1,5 m

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal Mmax dans la poutre.

L = 4 mP = 10 kN à 2,5 mw = 12 kN/m de 0 à 4 m
Mmax = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
ABCDEFGH35 kN4 × 4 m4 m

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

F: 35 kN ↓
  1. 1barre AB
  2. 2barre BC
  3. 3barre CD
  4. 4barre DE
  5. 5barre FG
  6. 6barre GH
  7. 7barre AF
  8. 8barre HE
  9. 9barre BF
  10. 10barre CG
  11. 11barre DH
  12. 12barre BG
  13. 13barre DG
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
ABBCACACB45 kN25 kN8 m2 m3 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 3 mB est à 2 m de Acharge verticale = 45 kNcharge horizontale = 25 kN →
FBC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
w = 8 kN/mP = 24 kNABδ3 m

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 24 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
w = 12 kN/mP = 14 kNδL = 2 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δmax.

P = 14 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
PL = 6 md = 30 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
P = 65 kNL = 4 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 65 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 65 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (acier)
d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RB = 21,25 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m0,5 m4,5 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·1 + 45·1,5
RB = 127,5/6 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 21,25 = 83,75 kN

Réponse

RB = 21,25 kN
2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RA = 16,65 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

w = 3 kN/mP = 50 kNABRA​RB​4 m1 m2 m3 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, appliquée en x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·7 + 3·1·4,5
RB = 363,5/10 = 36,35 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 36,35 = 16,65 kN

Réponse

RA = 16,65 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: Vx = 12 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, appliquée en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16coupe0,5 m3,5 m

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = RA − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)
Vx = 16 − 8·0,5 = 12 kN

Réponse

Vx = 12 kN
4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: Mmax = 32,09 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, appliquée en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·2,5 + 12·4·2
RB = 121/4 = 30,25 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 30,25 = 27,75 kN

Où V = 0 ?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 27,75/12 = 2,313 m

Moment maximal

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 27,75·2,313 − 12·2,313²/2 = 32,09 kN·m

Réponse

Mmax = 32,09 kN·m

Il se trouve en x = 2,313 m à partir de A.

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre CG

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud C

BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 26,25 kN (T), BC: 17,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 8,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 8,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 12,37 kN (C), BF: 8,75 kN (C), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 12,37 kN (T), DG: 12,37 kN (C)

Réponse

Barre à effort nul: CG
6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: FBC = −46,12 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB45 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·2 + 25·3 → Cy = 20,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 20,63 = 24,38 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −20,63/0,4472 = −46,12 kN

Réponse

FBC = −46,12 kN (compression)
7.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 64,57 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 24000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δP = PL³/(3EI) = 24000·3000³/(3·4,6 × 10¹²) = 46,96 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 17,61 mm

Les additionner

δ = 46,96 + 17,61 = 64,57 mm

Réponse

δ = 64,57 mm
8.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 1,211 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δP = PL³/(48EI) = 14000·2000³/(48·3,99 × 10¹²) = 0,5848 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,6266 mm

Les additionner

δmax = 0,5848 + 0,6266 = 1,211 mm

Réponse

δmax = 1,211 mm
9.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 2,18 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·6000 = 6000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Réponse

Pcr = 2,18 kN
10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 63,02 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 63,02 mm

Réponse

d = 63,02 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 177,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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