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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 2 m de A et un couple horaire M à 7 m de A. Trouvez la réaction verticale RA, en comptant positif vers le haut.
L = 8 mP = 70 kN à 2 mM = 10 kN·m (horaire) à 7 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 3 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 10 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 5 m de A. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
AC = 3 mAD = 10 mP = 10 kN à 5 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Trouvez l’effort tranchant Vx dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 10 mw = 2 kN/m de 0 à 10 mx = 3 m
Vx = kN
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant MB à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 5 mw = 12 kN/m de 0 à 5 mappuis en x = 0 et x = 4 m
MB = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 2 mB est à 6 m de Acharge verticale = 10 kN
FAB = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 4 mhauteur = 4 mB est à 3 m de Acharge verticale = 50 kNcharge horizontale = 5 kN →
FAC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.
P = 13 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δmax.
P = 2 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 75 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 75 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 51,25 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·8 − 70·2 − 10 = 0
RB = 150/8 = 18,75 kN
Équilibre vertical
RA = 70 − 18,75 = 51,25 kN
Réponse
RA = 51,25 kN
Une réaction négative est dirigée vers le bas.
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 21,43 kN·m
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.
Partie CD
L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.
ΣMC = 0: RD·7 = 10·2
RD = 2,857 kN
VC = 10 − 2,857 = 7,143 kN
Partie AC
L’effort de l’articulation VC agit vers le bas sur AC (égal et opposé à son action sur CD).
RA = 7,143 = 7,143 kN
MA = 7,143·3 = 21,43 kN·m
Réponse
MA = 21,43 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Vx = 4 kN
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, appliquée en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
Couper en x = 3 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
V = RA − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)
Vx = 10 − 2·3 = 4 kN
Réponse
Vx = 4 kN
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: MB = −6 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·5·2,5
RB = 150/4 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37,5 = 22,5 kN
Coupure en B en gardant le porte-à-faux
La charge sur le porte-à-faux, w·a, agit à a/2 de B et met la poutre en flexion négative au-dessus de l’appui.
MB = −w·a²/2 = −12·1²/2 = −6 kN·m
Réponse
MB = −6 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAB = −7,906 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·6 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 7,5 = 2,5 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 2/6,325 = 0,3162
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2,5/0,3162 = −7,906 kN
Réponse
FAB = −7,906 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAC = 10,63 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 + 5·4 → Cy = 42,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 42,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 13000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(3EI) = 13000·1500³/(3·2,53 × 10¹¹) = 57,81 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 10 mm
Les additionner
δ = 57,81 + 10 = 67,81 mm
Réponse
δ = 67,81 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: δmax = 15 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 2000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 1,111 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 13,89 mm
Les additionner
δmax = 1,111 + 13,89 = 15 mm
Réponse
δmax = 15 mm
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 13,89 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 38,22 mm
Réponse
d = 38,22 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 109,9, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.