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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 3 m de A et un couple horaire M à 4 m de A. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
L = 10 mP = 35 kN à 3 mM = 60 kN·m (horaire) à 4 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui vaut 10 kN/m au mur et décroît jusqu’à zéro à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 4,5 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 6 mw0 = 10 kN/mP = 35 kN à 4,5 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 1,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 5 mw = 6 kN/m de 0 à 5 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez la distance xc entre A et le point d’inflexion situé entre les appuis (là où le moment fléchissant change de signe).
L = 10,5 mw = 5 kN/m de 0 à 10,5 mappuis en x = 0 et x = 8 m
xc = m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓H: 15 kN ←
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre BG
13barre DG
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.
w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal Ireq qui respecte cette limite.
w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 35 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 35 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 16,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·10 − 35·3 − 60 = 0
RB = 165/10 = 16,5 kN
Équilibre vertical
RA = 35 − 16,5 = 18,5 kN
Réponse
RB = 16,5 kN
Une réaction négative est dirigée vers le bas.
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 217,5 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·10·6 = 30 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Moment par rapport au mur
MA = W·x̄ + P·a = 30·2 + 35·4,5 = 217,5 kN·m
Réponse
MA = 217,5 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 15,75 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2,5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
Couper en x = 1,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 15·1,5 − 6·1,5·0,75 = 15,75 kN·m
Réponse
Mx = 15,75 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: xc = 7,219 m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·10,5 = 52,5 kN, appliquée en x̄ = 5,25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·10,5·5,25
RB = 275,6/8 = 34,45 kN
ΣFy = 0: RA = 52,5 − 34,45 = 18,05 kN
Moment nul
Entre les appuis, M(x) = RA·x − w·x²/2. En dehors de x = 0, il s’annule en x = 2RA/w.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·18,05/5 = 7,219 m
Réponse
xc = 7,219 m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre DH
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²
Flèche
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 64,59 mm
Réponse
δmax = 64,59 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Flèche admissible
δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm
Moment quadratique nécessaire
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13,89) = 4,185 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 183,6 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 68,93 mm
Réponse
d = 68,93 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 290,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.