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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre a une articulation en A et un appui simple en B, à 3 m de A, et se prolonge en porte-à-faux au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 35 kN à 2 mP2 = 15 kN à 4 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui vaut 15 kN/m au mur et décroît jusqu’à zéro à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 4 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 8 mw0 = 15 kN/mP = 30 kN à 4 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez le moment fléchissant Mx sous la charge P1. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 9,5 mP1 = 60 kN à 6 mP2 = 10 kN à 9,5 mappuis en x = 0 et x = 8 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
15 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 1 m de Acharge verticale = 35 kN
FAB = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
B: 30 kN ↓G: 10 kN ↓H: 10 kN ←
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 3,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δP sous la charge.
P = 21 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 75 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/300. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.
w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 75 mm
hreq = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm
σcr = MPa
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 43,33 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·3 = 35·2 + 15·4
RB = 130/3 = 43,33 kN
Équilibre vertical
RA = 35 + 15 − 43,33 = 6,667 kN
Réponse
RB = 43,33 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 280 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·15·8 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m
Moment par rapport au mur
MA = W·x̄ + P·a = 60·2,667 + 30·4 = 280 kN·m
Réponse
MA = 280 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 78,75 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.
ΣMA = 0: RB·8 = 60·6 + 10·9,5
RB = 455/8 = 56,88 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 56,88 = 13,13 kN
Coupure sous P1 en gardant la partie gauche
Mx = RA·6 = 13,13·6 = 78,75 kN·m
Réponse
Mx = 78,75 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: F (x = 10 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 40 kN, R2 = 50 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = −30, MC = 20, MD = −10, ME = −40, MF = −70 kN·m, MG = 0
Réponse
Repère F: MF = −70 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAB = −27,67 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8,75 = 26,25 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26,25/0,9487 = −27,67 kN
Réponse
FAB = −27,67 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre DH
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 21000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²
Flèche sous la charge
δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·3500²·2500²/(3·1,12 × 10¹³·6000) = 7,975 mm
Réponse
δP = 7,975 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: hreq = 264 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
bh³/12 = Ireq → h = (12·1,151 × 10⁸/75)1/3 = 264 mm
Réponse
hreq = 264 mm
En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 21,75 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.