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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis (articulation en A, appui simple en B) porte une charge linéairement variable qui décroît de 20 kN/m en A jusqu’à zéro en B. Une charge ponctuelle P agit aussi à 2 m de A. Trouvez la réaction d’appui verticale RB.
L = 10 mw0 = 20 kN/mP = 10 kN à 2 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 5,5 m de A, inclinée de 30° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 0,5 m de A. Trouvez l’intensité de la réaction totale RA à l’articulation A.
L = 6 mP = 30 kN à 5,5 m, θ = 30°Q = 20 kN à 0,5 m
RA = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 1,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 8 mw = 12 kN/m de 0 à 8 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6 mP = 10 kN à 3,5 mw = 5 kN/m de 0 à 6 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 6 mhauteur = 2 mB est à 2 m de Acharge verticale = 10 kN
FAB = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 4 mB est à 5 m de Acharge verticale = 30 kNcharge horizontale = 25 kN →
FBC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θA de la poutre à l’appui A, en radians.
w = 8 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal Ireq qui respecte cette limite.
w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm
σcr = MPa
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 35,33 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·20·10 = 100 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·10 = 100·3,333 + 10·2
RB = 35,33 kN
RA = 110 − 35,33 = 74,67 kN
Réponse
RB = 35,33 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 32,53 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Composantes de P
Pv = 30·sin 30° = 15 kN
Ph = 30·cos 30° = 25,98 kN
Réactions
ΣMA = 0: RB·6 = 15·5,5 + 20·0,5 → RB = 15,42 kN
Ay = 15 + 20 − 15,42 = 19,58 kN
Ax = Ph = 25,98 kN
Résultante en A
RA = √(25,98² + 19,58²) = 32,53 kN
Réponse
RA = 32,53 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 58,5 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, appliquée en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
Couper en x = 1,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 48·1,5 − 12·1,5·0,75 = 58,5 kN·m
Réponse
Mx = 58,5 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 36,46 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3,5 + 5·6·3
RB = 125/6 = 20,83 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20,83 = 19,17 kN
Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 19,17·3,5 − 5·3,5·1,75 = 36,46 kN·m
Réponse
Mx = 36,46 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAB = −9,428 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,333 = 6,667 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,667/0,7071 = −9,428 kN
Réponse
FAB = −9,428 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FBC = −39,06 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·5 + 25·4 → Cy = 31,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 31,25 = −1,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 8 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²
Rotation en bout
θA = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,04091 rad
Réponse
θA = 0,04091 rad
Soit 2,344°.
8.Flèche d’une poutre
Réponse: Ireq = 272,7 × 10⁶ mm⁴
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Flèche admissible
δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm
Moment quadratique nécessaire
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,727 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 272,7 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ireq = 272,7 × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 954,9 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.