Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre a une articulation en A et un appui simple en B, à 5 m de A, et se prolonge en porte-à-faux au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Trouvez la réaction verticale R_A, en comptant positif vers le haut.

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 70 kN à 3 mP₂ = 10 kN à 8 m

R_A = kN

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_A.

L = 5 mP = 60 kN à 3 mw = 2 kN/m de 2 à 3 m

R_A = kN

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mw = 8 kN/m de 0 à 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 10 mw = 10 kN/m de 7 à 10 m

M_max = kN·m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 2 mB est à 7 m de Acharge verticale = 35 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 3 mB est à 3 m de Acharge verticale = 25 kNcharge horizontale = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche δ_mid à mi-portée.

P = 19 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 5 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 5 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 22 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Moments par rapport à A

Sens trigonométrique positif.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·3 + 10·8

R_B = 290/5 = 58 kN

Équilibre vertical

R_A = 70 + 10 − 58 = 22 kN

Réponse

R_A = 22 kN

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 25 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3 + 2·1·2,5

R_B = 185/5 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 37 = 25 kN

Réponse

R_A = 25 kN

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 75 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 40·2,5 − 8·2,5·1,25 = 75 kN·m

Réponse

M_x = 75 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 32,51 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, appliquée en x̄ = 8,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3·8,5

R_B = 255/10 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 25,5 = 4,5 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 7) = 0

x₀ = 7 + 4,5/10 = 7,45 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 7)²/2 = 4,5·7,45 − 10·0,45²/2 = 32,51 kN·m

Réponse

M_max = 32,51 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 15,31 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 → C_y = 30,63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30,63 = 4,375 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30,63/0,8944 = −34,24 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−34,24)·0,4472 = 15,31 kN

Réponse

F_AC = 15,31 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 4 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·3 − 15·3 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6 = 19 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,8321 = −7,211 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7,211)·0,5547 = 4 kN

Réponse

F_AC = 4 kN (traction)

7.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 6,683 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 6,683 mm

Réponse

δ_max = 6,683 mm

8.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_mid = 65,66 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 19000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·6,27 × 10¹¹) = 65,66 mm

Réponse

δ_mid = 65,66 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 115,1 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2500² = 115145 N = 115,1 kN

Réponse

P_cr = 115,1 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 19,84 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 19,84 mm

Réponse

d = 19,84 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 201,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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