Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d

Méthode

  1. Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
  2. Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
  3. Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
  4. Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
  2. Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
  3. Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
  4. Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen
P1​ = 30 kNP2​ = 55 kNABRA​ = ?RB​3 m3 m2 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.

L = 8 mP1 = 30 kN à 3 mP2 = 55 kN à 6 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m1 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.

L = 5 mP = 60 kN à 2 mw = 10 kN/m de 1 à 4 m
RA = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
30 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

30 kN @ 1 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
30 kN50 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

30 kN @ 0 m50 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
ABCDEFGH20 kN35 kN35 kN40 kN4 × 4 m3 m

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

B: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1barre AB
  2. 2barre BC
  3. 3barre CD
  4. 4barre DE
  5. 5barre FG
  6. 6barre GH
  7. 7barre AF
  8. 8barre HE
  9. 9barre BF
  10. 10barre CG
  11. 11barre DH
  12. 12barre FC
  13. 13barre HC
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
ABBCACACB15 kN25 kN6 m1 m3 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 6 mhauteur = 3 mB est à 1 m de Acharge verticale = 15 kNcharge horizontale = 25 kN ←
FBC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
w = 2 kN/mABθ5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θA de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Flèche d’une poutreDifficile
w = 20 kN/mP = 4 kNδL = 6 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δmax.

P = 4 kNw = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
PL = 6 md = 50 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
P = 95 kNL = 3 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 95 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 95 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (acier)
d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RA = 32,5 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

P1​ = 30 kNP2​ = 55 kNABRA​RB​3 m3 m2 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·3 + 55·6
RB = 420/8 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 52,5 = 32,5 kN

Réponse

RA = 32,5 kN
2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RA = 51 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1 m1 m2 m1 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·2 + 10·3·2,5
RB = 195/5 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 39 = 51 kN

Réponse

RA = 51 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 36,67 kN, R2 = 28,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 36,67, MC = 43,33, MD = 50, ME = 56,67 kN·m, MF = 28,33, MG = 0

Réponse

Repère E: ME = 56,67 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 10 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 70 kN, R2 = 70 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = −60, MC = 20, MD = −20, ME = −60, MF = −100 kN·m, MG = 0

Réponse

Repère F: MF = −100 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre CG

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud G

FG et GH sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 80 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 93,33 kN (T), DE: 93,33 kN (T), FG: 86,67 kN (C), GH: 86,67 kN (C), AF: 100 kN (C), HE: 116,7 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 8,333 kN (T), HC: 8,333 kN (C)

Réponse

Barre à effort nul: CG
6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: FBC = 19,44 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB15 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·1 − 25·3 → Cy = −10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −10 = 25 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−10/0,5145 = 19,44 kN

Réponse

FBC = 19,44 kN (traction)
7.Flèche d’une poutre

Réponse: θA = 0,01127 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Rotation en bout

θA = wL³/(24EI) = 2·5000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,01127 rad

Réponse

θA = 0,01127 rad

Soit 0,6459°.

8.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 11,11 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, w = 20 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Chaque charge seule

δP = PL³/(48EI) = 4000·6000³/(48·3,2 × 10¹³) = 0,5625 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10,55 mm

Les additionner

δmax = 0,5625 + 10,55 = 11,11 mm

Réponse

δmax = 11,11 mm
9.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 16,82 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·6000 = 6000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Réponse

Pcr = 16,82 kN
10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 57,34 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 57,34 mm

Réponse

d = 57,34 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 146,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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