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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 1,5 m de A et un couple horaire M à 4 m de A. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
L = 5 mP = 65 kN à 1,5 mM = 30 kN·m (horaire) à 4 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 3 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 8 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 6 m de A. Trouvez la réaction RD à l’appui simple.
AC = 3 mAD = 8 mP = 45 kN à 6 m
RD = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
20 kN @ 3 m15 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x0 entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.
L = 5 mw = 10 kN/m de 0 à 3 m
x0 = m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 4 mhauteur = 2 mB est à 1 m de Acharge verticale = 55 kN
FAC = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.
P = 2 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction RB à l’appui simple.
L = 3 mw = 15 kN/m
RB = kN
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 25,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·5 − 65·1,5 − 30 = 0
RB = 127,5/5 = 25,5 kN
Équilibre vertical
RA = 65 − 25,5 = 39,5 kN
Réponse
RB = 25,5 kN
Une réaction négative est dirigée vers le bas.
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RD = 27 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.
Partie CD
L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.
ΣMC = 0: RD·5 = 45·3
RD = 27 kN
VC = 45 − 27 = 18 kN
Réponse
RD = 27 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: D (x = 3 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 15 kN, R2 = 20 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = 15, MC = 30, MD = 45 kN·m, ME = 40, MF = 20, MG = 0
Réponse
Repère D: MD = 45 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: x0 = 2,1 m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·3·1,5
RB = 45/5 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 9 = 21 kN
Effort tranchant nul
L’effort tranchant part de RA, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 21/10 = 2,1 m
Réponse
x0 = 2,1 m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAC = 20,63 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13,75 = 41,25 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 2000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(3EI) = 2000·2500³/(3·1,7 × 10¹²) = 6,127 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 5,744 mm
Les additionner
δ = 6,127 + 5,744 = 11,87 mm
Réponse
δ = 11,87 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: RB = 16,88 kN
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).
Supprimer l’appui simple
Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.
δload = wL⁴/(8EI)
Compatibilité à l’appui simple
La réaction RB seule soulève l’extrémité libre de RBL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.