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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 4 mP1 = 35 kN à 2 mP2 = 50 kN à 2,5 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui vaut 15 kN/m au mur et décroît jusqu’à zéro à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 10 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 10 mw0 = 15 kN/mP = 80 kN à 10 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
50 kN @ 2 m15 kN/m, 0–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 8 mP = 45 kN à 5 mw = 12 kN/m de 0 à 8 mx = 5 m
Mx = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
B: 10 kN ↓C: 10 kN ↓G: 10 kN ↓
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 5 mhauteur = 3 mB est à 3 m de Acharge verticale = 55 kNcharge horizontale = 10 kN ←
FBC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.
w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δmax.
P = 2 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 20 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 20 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 48,75 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·2 + 50·2,5
RB = 195/4 = 48,75 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 48,75 = 36,25 kN
Réponse
RB = 48,75 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 1050 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·15·10 = 75 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m
Moment par rapport au mur
MA = W·x̄ + P·a = 75·3,333 + 80·10 = 1050 kN·m
Réponse
MA = 1050 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: C (x = 2 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 78,33 kN, R2 = 61,67 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = 70,83, MC = 126,7 kN·m, MD = 117,5, ME = 93,33, MF = 54,17, MG = 0
Réponse
Repère C: MC = 126,7 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 174,4 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, appliquée en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 45·5 + 12·8·4
RB = 609/8 = 76,13 kN
ΣFy = 0: RA = 141 − 76,13 = 64,88 kN
Couper en x = 5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 64,88·5 − 12·5·2,5 = 174,4 kN·m
Réponse
Mx = 174,4 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre DH
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·3 − 10·3 → Cy = 27 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 27 = 28 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²
Flèche
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 31,75 mm
Réponse
δmax = 31,75 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: δmax = 17,68 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 2000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²
Chaque charge seule
δP = PL³/(48EI) = 2000·5000³/(48·7,2 × 10¹²) = 0,7234 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 16,95 mm
Les additionner
δmax = 0,7234 + 16,95 = 17,68 mm
Réponse
δmax = 17,68 mm
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 2,879 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 31,71 mm
Réponse
d = 31,71 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 176,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.