Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge uniformément répartie w du mur jusqu’à 3,5 m et une charge ponctuelle P à 4,5 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

L = 5 mP = 45 kN à 4,5 mw = 8 kN/m de 0 à 3,5 m

M_A = kN·m

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 3 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 10 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 6 m de A, une charge uniformément répartie w sur toute la partie CD et une charge ponctuelle Q à 2 m de A. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

AC = 3 mAD = 10 mP = 15 kN à 6 mw = 2 kN/m de 3 à 10 mQ = 70 kN à 2 m

M_A = kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

20 kN @ 1 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mw = 8 kN/m de 1 à 3 m

M_max = kN·m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 3 m de Acharge verticale = 45 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 6 mhauteur = 3 mB est à 2 m de Acharge verticale = 50 kNcharge horizontale = 20 kN →

F_BC = kN

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 1,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 30 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 90 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 90 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 251,5 kN·m

Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale R_A et un moment d’encastrement M_A. ΣF_y = 0 donne R_A, et les moments par rapport au mur donnent M_A = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.

Résultante de la charge répartie

W = 8·3,5 = 28 kN, x̄ = 1,75 m

Moment par rapport au mur

M_A = P·a + W·x̄ = 45·4,5 + 28·1,75 = 251,5 kN·m

Réponse

M_A = 251,5 kN·m

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 186,7 kN·m

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.

Partie CD

L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.

W = 2·7 = 14 kN à 3,5 m depuis C

ΣM_C = 0: R_D·7 = 15·3 + 14·3,5

R_D = 13,43 kN

V_C = 29 − 13,43 = 15,57 kN

Partie AC

L’effort de l’articulation V_C agit vers le bas sur AC (égal et opposé à son action sur CD).

R_A = 70 + 15,57 = 85,57 kN

M_A = 70·2 + 15,57·3 = 186,7 kN·m

Réponse

M_A = 186,7 kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 36,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 36,67, M_C = 53,33 kN·m, M_D = 40, M_E = 26,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 53,33 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 15,36 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·2·2

R_B = 32/5 = 6,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 6,4 = 9,6 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 9,6/8 = 2,2 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 9,6·2,2 − 8·1,2²/2 = 15,36 kN·m

Réponse

M_max = 15,36 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 11,25 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,75/0,9487 = −35,58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−35,58)·0,3162 = 11,25 kN

Réponse

F_AC = 11,25 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −44,44 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·2 + 20·3 → C_y = 26,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 26,67 = 23,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,67/0,6 = −44,44 kN

Réponse

F_BC = −44,44 kN (compression)

7.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 2,215 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1500²·4500²/(3·3,2 × 10¹³·6000) = 2,215 mm

Réponse

δ_P = 2,215 mm

8.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 2,762 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 30000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·3000³/(48·8,4 × 10¹²) = 2,009 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 0,7533 mm

Les additionner

δ_max = 2,009 + 0,7533 = 2,762 mm

Réponse

δ_max = 2,762 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 100,7 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3500² = 100710 N = 100,7 kN

Réponse

P_cr = 100,7 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 104 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 104 mm

Réponse

d = 104 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 161,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis