Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d

Méthode

  1. Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
  2. Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
  3. Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
  4. Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
  2. Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
  3. Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
  4. Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen
P1​ = 60 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?5 m3 m2 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.

L = 10 mP1 = 60 kN à 5 mP2 = 40 kN à 8 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
w = 8 kN/mP = 10 kNABRA​RB​ = ?6 m2 m1 m1 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.

L = 10 mP = 10 kN à 6 mw = 8 kN/m de 8 à 9 m
RB = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
45 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

45 kN @ 3 m20 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
12 kN/m30 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

30 kN @ 12 m30 kN @ 2 m12 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
ABBCACACB10 kN4 m1 m3 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 1 m de Acharge verticale = 10 kN
FAC = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
ABCDEFGH30 kN30 kN4 × 4 m3 m

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

F: 30 kN →H: 30 kN ↓
  1. 1barre AB
  2. 2barre BC
  3. 3barre CD
  4. 4barre DE
  5. 5barre FG
  6. 6barre GH
  7. 7barre AF
  8. 8barre HE
  9. 9barre BF
  10. 10barre CG
  11. 11barre DH
  12. 12barre BG
  13. 13barre DG
7.Flèche d’une poutreMoyen
w = 4 kN/mδL = 3 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
P = 80 kNAB3 m3 m

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction RB à l’appui simple.

L = 6 mP = 80 kN à 3 m
RB = kN
9.Flambement des poteauxMoyen
PL = 2,5 m20 × 50 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
P = 75 kNL = 4 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 75 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 75 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acier)
d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RB = 62 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

P1​ = 60 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​5 m3 m2 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·5 + 40·8
RB = 620/10 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 62 = 38 kN

Réponse

RB = 62 kN
2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RB = 12,8 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

w = 8 kN/mP = 10 kNABRA​RB​6 m2 m1 m1 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, appliquée en x̄ = 8,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·6 + 8·1·8,5
RB = 128/10 = 12,8 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 12,8 = 5,2 kN

Réponse

RB = 12,8 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 25,83 kN, R2 = 39,17 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 25,83, MC = 51,67, MD = 77,5 kN·m, ME = 58,33, MF = 39,17, MG = 0

Réponse

Repère D: MD = 77,5 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 78 kN, R2 = 102 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 132, MC = 156 kN·m, MD = 132, ME = 60, MF = −60, MG = 0

Réponse

Repère C: MC = 156 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: FAC = 2,5 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2,5/0,7071 = −3,536 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−3,536)·0,7071 = 2,5 kN

Réponse

FAC = 2,5 kN (traction)
6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre CG

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud C

BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 32,5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 37,5 kN (T), FG: 32,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 3,125 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 1,875 kN (T), CG: 0, DH: 1,875 kN (C), BG: 3,125 kN (C), DG: 3,125 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: CG
7.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 6,728 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 6,728 mm

Réponse

δmax = 6,728 mm
8.Flèche d’une poutre

Réponse: RB = 25 kN

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction RB seule soulève l’extrémité libre de RBL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Réponse

RB = 25 kN
9.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 2,632 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/5000² = 2632 N = 2,632 kN

Réponse

Pcr = 2,632 kN
10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 52,75 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 52,75 mm

Réponse

d = 52,75 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 151,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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