Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis (articulation en A, appui simple en B) porte une charge linéairement variable qui décroît de 15 kN/m en A jusqu’à zéro en B. Une charge ponctuelle P agit aussi à 0,5 m de A. Trouvez la réaction d’appui verticale R_B.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 45 kN à 0,5 m

R_B = kN

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_B.

L = 10 mP = 40 kN à 1 mw = 4 kN/m de 3 à 8 m

R_B = kN

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

45 kN @ 6 m60 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 20 kN à 1 mw = 2 kN/m de 0 à 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

D: 10 kN ↓

1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre BG
13barre DG

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

D: 35 kN ↓F: 35 kN →H: 25 kN ↓

1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre BG
13barre DG

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 11 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 80 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 80 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 17 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Résultante de la charge triangulaire

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 37,5·1,667 + 45·0,5

R_B = 17 kN

R_A = 82,5 − 17 = 65,5 kN

Réponse

R_B = 17 kN

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 15 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, appliquée en x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·1 + 4·5·5,5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 15 = 45 kN

Réponse

R_B = 15 kN

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 65, M_C = 130, M_D = 195 kN·m, M_E = 170, M_F = 145, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 195 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 18 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 2·4·2

R_B = 36/4 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 9 = 19 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 19·1 − 2·1·0,5 = 18 kN·m

Réponse

M_x = 18 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre CG

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud C

BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 2,5 kN (T), BC: 5 kN (T), CD: 5 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 2,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 3,536 kN (C), HE: 10,61 kN (C), BF: 2,5 kN (T), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 3,536 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: CG

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre CG

Nœud C

BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 41,25 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 53,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 53,75 kN (C), AF: 8,839 kN (C), HE: 76,01 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 28,75 kN (T), BG: 8,839 kN (C), DG: 8,839 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: CG

7.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,633 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 3,633 mm

Réponse

δ_max = 3,633 mm

8.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 53,13 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 11000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 11000·6000³/(48·2,52 × 10¹²) = 19,64 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 33,48 mm

Les additionner

δ_max = 19,64 + 33,48 = 53,13 mm

Réponse

δ_max = 53,13 mm

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 280,7 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1500 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1500² = 280735 N = 280,7 kN

Réponse

P_cr = 280,7 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 47,42 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 47,42 mm

Réponse

d = 47,42 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 147,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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