Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d

Méthode

  1. Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
  2. Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
  3. Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
  4. Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
  2. Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
  3. Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
  4. Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen
P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​1,5 m0,5 m2 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.

L = 4 mP1 = 45 kN à 1,5 mP2 = 35 kN à 2 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m0,5 m3,5 m

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.

L = 5 mP = 55 kN à 1,5 mw = 8 kN/m de 1 à 5 m
RB = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
4 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
w = 4 kN/mP = 25 kNABcoupe1 m5,5 m1,5 m

Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 6,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mP = 25 kN à 1 mw = 4 kN/m de 0 à 8 mx = 6,5 m
Mx = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
ABBCACACB15 kN4 m1 m4 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FBC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 4 mB est à 1 m de Acharge verticale = 15 kN
FBC = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
ABBCACACB30 kN30 kN8 m7 m4 m

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 4 mB est à 7 m de Acharge verticale = 30 kNcharge horizontale = 30 kN →
FAC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
P = 3 kNABδ6,5 m1,5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 6,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δP sous la charge.

P = 3 kNa = 6,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
P = 30 kNABδ2,5 m1,5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche δmid à mi-portée.

P = 30 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
9.Flambement des poteauxMoyen
PL = 2,5 md = 40 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
P = 35 kNL = 1 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 35 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 35 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (acier)
d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RA = 45,63 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m2 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣMA = 0: RB·4 = 45·1,5 + 35·2
RB = 137,5/4 = 34,38 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 34,38 = 45,63 kN

Réponse

RA = 45,63 kN
2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: RB = 35,7 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m0,5 m3,5 m

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 8·4·3
RB = 178,5/5 = 35,7 kN
ΣFy = 0: RA = 87 − 35,7 = 51,3 kN

Réponse

RB = 35,7 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 23,67 kN, R2 = 35,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 21,67, MC = 39,33, MD = 53, ME = 62,67 kN·m, MF = 33,33, MG = 0

Réponse

Repère E: ME = 62,67 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: Mx = 24,19 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, appliquée en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·1 + 4·8·4
RB = 153/8 = 19,13 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 19,13 = 37,88 kN
w = 4 kN/mP = 25 kNABRA​ = 37,88RB​ = 19,13coupe1 m5,5 m1,5 m

Couper en x = 6,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 37,88·6,5 − 25·(6,5 − 1) − 4·6,5·3,25 = 24,19 kN·m

Réponse

Mx = 24,19 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: FBC = −4,688 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·1 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,75/0,8 = −4,688 kN

Réponse

FBC = −4,688 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: FAC = 10,31 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

ABBCACACB30 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 + 30·4 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 41,25 = −11,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −41,25/0,9701 = −42,52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42,52)·0,2425 = 10,31 kN

Réponse

FAC = 10,31 kN (traction)
7.Flèche d’une poutre

Réponse: δP = 19,97 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δP = Pa²b²/(3EIL) = 3000·6500²·1500²/(3·5,95 × 10¹¹·8000) = 19,97 mm

Réponse

δP = 19,97 mm
8.Flèche d’une poutre

Réponse: δmid = 3,265 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 30000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flèche à mi-portée

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 30000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1,12 × 10¹³) = 3,265 mm

Réponse

δmid = 3,265 mm
9.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 3,473 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Réponse

Pcr = 3,473 kN
10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 20,62 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 0,5·1000 = 500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·500²/(π³·200000))^(1/4) = 20,62 mm

Réponse

d = 20,62 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 97,02, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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