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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis (articulation en A, appui simple en B) porte une charge linéairement variable qui croît de zéro en A jusqu’à 8 kN/m en B. Une charge ponctuelle P agit aussi à 3 m de A. Trouvez la réaction d’appui verticale RB.
L = 8 mw0 = 8 kN/mP = 75 kN à 3 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 7 m de A, inclinée de 40° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 3 m de A. Trouvez l’intensité de la réaction totale RA à l’articulation A.
L = 10 mP = 80 kN à 7 m, θ = 40°Q = 30 kN à 3 m
RA = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre sur deux appuis porte un couple M0 = 30 kN·m dans le sens horaire en x = 3 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant Mx juste à droite du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 4 mM0 = 30 kN·m dans le sens horaire, en 3 m
Mx = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Trouvez le moment fléchissant Mx dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6 mP = 30 kN à 3,5 mw = 12 kN/m de 0 à 6 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
D: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre BG
13barre DG
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 8 mhauteur = 3 mB est à 5 m de Acharge verticale = 50 kNcharge horizontale = 25 kN ←
FAB = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2,5 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 26 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal Ireq qui respecte cette limite.
w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (bois de structure)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 55 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 55 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 49,46 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·8·8 = 32 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·8 = 32·5,333 + 75·3
RB = 49,46 kN
RA = 107 − 49,46 = 57,54 kN
Réponse
RB = 49,46 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 71,29 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Composantes de P
Pv = 80·sin 40° = 51,42 kN
Ph = 80·cos 40° = 61,28 kN
Réactions
ΣMA = 0: RB·10 = 51,42·7 + 30·3 → RB = 45 kN
Ay = 51,42 + 30 − 45 = 36,43 kN
Ax = Ph = 61,28 kN
Résultante en A
RA = √(61,28² + 36,43²) = 71,29 kN
Réponse
RA = 71,29 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 7,5 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.
Réactions d’appui
Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : RB·L − M0 = 0. Équilibre vertical : RA + RB = 0.
RB = M0/L = 30/4 = 7,5 kN (vers le haut)
RA = −RB = −7,5 kN (vers le bas)
Coupure juste à droite du couple
La partie gauche contient maintenant RA et le couple.
Mx = RA·a + M0 = −7,5·3 + 30 = 7,5 kN·m
Réponse
Mx = 7,5 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mx = 83,75 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3,5 + 12·6·3
RB = 321/6 = 53,5 kN
ΣFy = 0: RA = 102 − 53,5 = 48,5 kN
Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
M = RA·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)
Mx = 48,5·2,5 − 12·2,5·1,25 = 83,75 kN·m
Réponse
Mx = 83,75 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre CG
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 − 25·3 → Cy = 21,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 21,88 = 28,13 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −28,13/0,5145 = −54,67 kN
Réponse
FAB = −54,67 kN (compression)
7.Flèche d’une poutre
Réponse: δB = 43,76 mm
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 26000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 23,03 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01382 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 43,76 mm
Réponse
δB = 43,76 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: Ireq = 66,58 × 10⁶ mm⁴
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Flèche admissible
δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm
Moment quadratique nécessaire
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·2500⁴/(384·11000·6,944) = 6,658 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 66,58 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ireq = 66,58 × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 9,646 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 77,18 mm
Réponse
d = 77,18 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 259,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.