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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.
L = 8 mP1 = 60 kN à 4 mP2 = 30 kN à 6 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre a une articulation en A et un appui simple en B, à 3 m de A, et se prolonge en porte-à-faux au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P à 1,5 m de A et une charge uniformément répartie w de 1,5 m jusqu’à l’extrémité libre à 4 m. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
AB = 3 mAC = 4 mP = 80 kN à 1,5 mw = 12 kN/m de 1,5 à 4 m
RB = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles. Trouvez le moment fléchissant maximal Mmax dans la poutre.
L = 5 mP1 = 60 kN à 1 mP2 = 70 kN à 3 m
Mmax = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez la distance xc entre A et le point d’inflexion situé entre les appuis (là où le moment fléchissant change de signe).
L = 6 mw = 3 kN/m de 0 à 6 mappuis en x = 0 et x = 5 m
xc = m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 5 mhauteur = 3 mB est à 2 m de Acharge verticale = 25 kN
FAC = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 4 mhauteur = 2 mB est à 3 m de Acharge verticale = 45 kNcharge horizontale = 15 kN →
FAC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 0,5 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 28 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la valeur absolue du moment fléchissant MA à l’encastrement.
L = 4 mw = 4 kN/m
MA = kN·m
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 30 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 30 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 37,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·8 = 60·4 + 30·6
RB = 420/8 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 52,5 = 37,5 kN
Réponse
RA = 37,5 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 67,5 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Résultante de la charge répartie
W = 12·2,5 = 30 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·3 = 80·1,5 + 30·2,75
RB = 202,5/3 = 67,5 kN
RA = 110 − 67,5 = 42,5 kN
Réponse
RB = 67,5 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mmax = 108 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
ΣMA = 0: RB·5 = 60·1 + 70·3
RB = 270/5 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 54 = 76 kN
Moment sous chaque charge
Gardez la partie à gauche de chaque charge.
sous P1: M = RA·1 = 76·1 = 76 kN·m
sous P2: M = RB·2 = 54·2 = 108 kN·m
Plus grande valeur
Mmax = 108 kN·m (sous P2)
Réponse
Mmax = 108 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: xc = 4,8 m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·6·3
RB = 54/5 = 10,8 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 10,8 = 7,2 kN
Moment nul
Entre les appuis, M(x) = RA·x − w·x²/2. En dehors de x = 0, il s’annule en x = 2RA/w.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·7,2/3 = 4,8 m
Réponse
xc = 4,8 m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAC = 10 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 10 = 15 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 + 15·2 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 41,25 = 3,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 28000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 0,7246 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002174 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,986 mm
Réponse
δB = 3,986 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: MA = 8 kN·m
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).
Supprimer l’appui simple
Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.
δload = wL⁴/(8EI)
Compatibilité à l’appui simple
La réaction RB seule soulève l’extrémité libre de RBL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.
Moments par rapport à A des charges et de la réaction de l’appui simple.
MA = wL²/2 − RB·L = 32 − 24 = 8 kN·m
Réponse
MA = 8 kN·m
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 15,54 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 60,79 mm
Réponse
d = 60,79 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 276,4, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.