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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre a une articulation en A et un appui simple en B, à 3 m de A, et se prolonge en porte-à-faux au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Trouvez la réaction verticale RB, en comptant positif vers le haut.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 80 kN à 2 mP2 = 10 kN à 4 m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 3 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 8 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 4 m de A. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
AC = 3 mAD = 8 mP = 40 kN à 4 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles. Trouvez le moment fléchissant maximal Mmax dans la poutre.
L = 10 mP1 = 15 kN à 3 mP2 = 35 kN à 4 m
Mmax = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
60 kN @ 0 m50 kN @ 6 m30 kN @ 2 m6 kN/m, 1–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 6 mhauteur = 3 mB est à 4 m de Acharge verticale = 30 kN
FAB = kN
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort FAC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.
portée = 5 mhauteur = 2 mB est à 1 m de Acharge verticale = 40 kNcharge horizontale = 25 kN →
FAC = kN
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θA de la poutre à l’appui A, en radians.
w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal Ireq qui respecte cette limite.
w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.
L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm
σcr = MPa
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 66,67 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Moments par rapport à A
Sens trigonométrique positif.
ΣMA = 0: RB·3 = 80·2 + 10·4
RB = 200/3 = 66,67 kN
Équilibre vertical
RA = 80 + 10 − 66,67 = 23,33 kN
Réponse
RB = 66,67 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 96 kN·m
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.
Partie CD
L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.
ΣMC = 0: RD·5 = 40·1
RD = 8 kN
VC = 40 − 8 = 32 kN
Partie AC
L’effort de l’articulation VC agit vers le bas sur AC (égal et opposé à son action sur CD).
RA = 32 = 32 kN
MA = 32·3 = 96 kN·m
Réponse
MA = 96 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mmax = 111 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
ΣMA = 0: RB·10 = 15·3 + 35·4
RB = 185/10 = 18,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 18,5 = 31,5 kN
Moment sous chaque charge
Gardez la partie à gauche de chaque charge.
sous P1: M = RA·3 = 31,5·3 = 94,5 kN·m
sous P2: M = RB·6 = 18,5·6 = 111 kN·m
Plus grande valeur
Mmax = 111 kN·m (sous P2)
Réponse
Mmax = 111 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: B (x = 1 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 97 kN, R2 = 67 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −26, MD = −28, ME = −36, MF = −50, MG = 0
Réponse
Repère B: MB = −60 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAB = −16,67 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 20 = 10 kN
Nœud A
Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.
sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10/0,6 = −16,67 kN
Réponse
FAB = −16,67 kN (compression)
6.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: FAC = 36 kN
Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣFx = 0 et ΣFy = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.
Réactions d’appui
Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.
ΣMA = 0: Cy·5 = 40·1 + 25·2 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 18 = 22 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Nœud C
L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²
Rotation en bout
θA = wL³/(24EI) = 4·4000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,006061 rad
Réponse
θA = 0,006061 rad
Soit 0,3472°.
8.Flèche d’une poutre
Réponse: Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Flèche admissible
δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm
Moment quadratique nécessaire
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13,89) = 4,185 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ireq = 41,85 × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 49,35 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.