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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis (articulation en A, appui simple en B) porte une charge linéairement variable qui décroît de 20 kN/m en A jusqu’à zéro en B. Trouvez la réaction d’appui verticale RB.
L = 6 mw0 = 20 kN/m
RB = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RB.
L = 6 mP = 20 kN à 1 mw = 2 kN/m de 1 à 3 m
RB = kN
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
Trouvez l’effort tranchant Vx dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 2,5 m
Vx = kN
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.
15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m35 kN @ 2 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
F: 35 kN ↓
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre BG
13barre DG
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
B: 40 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓H: 40 kN ←
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC
7.Flèche d’une poutreMoyen
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 12 kNa = 1 mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal Ireq qui respecte cette limite.
w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (bois de structure)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 6 mE = 200 GPa (acier)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 65 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 65 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 20 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2 m
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2
RB = 20 kN
RA = 60 − 20 = 40 kN
Réponse
RB = 20 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RB = 4,667 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, appliquée en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 2·2·2
RB = 28/6 = 4,667 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 4,667 = 19,33 kN
Réponse
RB = 4,667 kN
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Vx = 5 kN
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche
Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.
V = RA − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)
Vx = 30 − 10·2,5 = 5 kN
Réponse
Vx = 5 kN
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: E (x = 4 m)
Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.
Réactions d’appui
Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.
R1 = 3,333 kN, R2 = 106,7 kN
Moment fléchissant à chaque repère
Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.
MA = 0, MB = −15, MC = −26,67, MD = −73,33, ME = −120 kN·m, MF = −60, MG = 0
Réponse
Repère E: ME = −120 kN·m
5.Treillis : méthode des nœuds
Réponse: barre CG
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud C
BC et CD sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 12000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 0,3509 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0005263 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,404 mm
Réponse
δB = 1,404 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: Ireq = 172,6 × 10⁶ mm⁴
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Flèche admissible
δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm
Moment quadratique nécessaire
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,726 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 172,6 × 10⁶ mm⁴
Réponse
Ireq = 172,6 × 10⁶ mm⁴
9.Flambement des poteaux
Réponse: Pcr = 3,57 kN
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 62,58 mm
Réponse
d = 62,58 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 127,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.