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1Formules et méthodes
Réactions d’appui des poutres
Équilibre
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie
résultante w·L au milieu de la charge
Moment
M = F·d
Méthode
Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣFy = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.
Effort tranchant et moment fléchissant
Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8
Méthode
Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.
Treillis : méthode des nœuds
Méthode des nœuds
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Méthode des coupures
ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre
positif = traction, négatif = compression
Méthode
Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣFx = 0 et ΣFy = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.
Flèche d’une poutre
Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2
Flambement des poteaux
Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)
2Exercices
1.Réactions d’appui des poutresMoyen
La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale RA.
L = 6 mP1 = 55 kN à 2,5 mP2 = 55 kN à 4 m
RA = kN
2.Réactions d’appui des poutresDifficile
La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui vaut 8 kN/m au mur et décroît jusqu’à zéro à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 2,5 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement MA au mur.
L = 4 mw0 = 8 kN/mP = 15 kN à 2,5 m
MA = kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P1 entre les appuis et une charge ponctuelle P2 en C. Trouvez le moment fléchissant MB à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.
L = 6,5 mP1 = 40 kN à 2 mP2 = 70 kN à 6,5 mappuis en x = 0 et x = 5 m
MB = kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant positif maximal Mmax entre les appuis.
L = 7,5 mw = 10 kN/m de 0 à 7,5 mappuis en x = 0 et x = 5 m
Mmax = kN·m
5.Treillis : méthode des nœudsMoyen
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
B: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 25 kN ↓
1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC
6.Treillis : méthode des nœudsDifficile
Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.
Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1,5 m de A. Trouvez la flèche δB à l’extrémité libre B.
P = 19 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Flèche d’une poutreDifficile
Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction RB à l’appui simple.
L = 6 mP = 20 kN à 3 m
RB = kN
9.Flambement des poteauxMoyen
Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.
L = 4 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Flambement des poteauxDifficile
Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 90 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.
P = 90 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (acier)
d = mm
3Solutions
1.Réactions d’appui des poutres
Réponse: RA = 50,42 kN
Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.
Schéma du corps libre
Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.
Équilibre
Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.
ΣMA = 0: RB·6 = 55·2,5 + 55·4
RB = 357,5/6 = 59,58 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 59,58 = 50,42 kN
Réponse
RA = 50,42 kN
2.Réactions d’appui des poutres
Réponse: MA = 58,83 kN·m
Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale RA et un moment d’encastrement MA. ΣFy = 0 donne RA, et les moments par rapport au mur donnent MA = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.
Résultante de la charge triangulaire
W = ½·8·4 = 16 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m
Moment par rapport au mur
MA = W·x̄ + P·a = 16·1,333 + 15·2,5 = 58,83 kN·m
Réponse
MA = 58,83 kN·m
3.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: MB = −105 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2 + 70·6,5
RB = 535/5 = 107 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 107 = 3 kN
Coupure en B en gardant le porte-à-faux
Seule P2 agit sur le porte-à-faux, avec un bras de levier a. Elle fait fléchir la poutre vers le haut au-dessus de l’appui (flexion négative).
MB = −P2·a = −70·1,5 = −105 kN·m
Réponse
MB = −105 kN·m
4.Effort tranchant et moment fléchissant
Réponse: Mmax = 17,58 kN·m
Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.
Réactions d’appui
Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.
Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, appliquée en x̄ = 3,75 m
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.
Nœud D
CD et DE sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Vérification avec la méthode des nœuds
La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).
Unités cohérentes
Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 19000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²
Flèche à l’extrémité libre
Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.
δP = Pa³/(3EI) = 1,272 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001272 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,908 mm
Réponse
δB = 1,908 mm
8.Flèche d’une poutre
Réponse: RB = 6,25 kN
Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).
Supprimer l’appui simple
Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
Compatibilité à l’appui simple
La réaction RB seule soulève l’extrémité libre de RBL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Plus petit moment quadratique
Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.
Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.
Charge critique nécessaire
Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
Isoler le diamètre
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 127,9 mm
Réponse
d = 127,9 mm
Vérification : l’élancement KL/r vaut 375,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.