Calcul des structures : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Réactions d’appui des poutresMoyen

La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge uniformément répartie w du mur jusqu’à 5 m et une charge ponctuelle P à 8 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

L = 8 mP = 60 kN à 8 mw = 5 kN/m de 0 à 5 m

M_A = kN·m

2.Réactions d’appui des poutresDifficile

La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui est nulle au mur et croît jusqu’à 12 kN/m à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 3 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 10 kN à 3 m

M_A = kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 4 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 0 m50 kN @ 12 m45 kN @ 6 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 6 mhauteur = 3 mB est à 2 m de Acharge verticale = 25 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 15 kN ↓H: 40 kN ←

1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC

7.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 45 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 45 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 542,5 kN·m

Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale R_A et un moment d’encastrement M_A. ΣF_y = 0 donne R_A, et les moments par rapport au mur donnent M_A = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.

Résultante de la charge répartie

W = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m

Moment par rapport au mur

M_A = P·a + W·x̄ = 60·8 + 25·2,5 = 542,5 kN·m

Réponse

M_A = 542,5 kN·m

2.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 130 kN·m

Résultante de la charge triangulaire

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Moment par rapport au mur

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3,333 + 10·3 = 130 kN·m

Réponse

M_A = 130 kN·m

3.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 20,33 kN, R₂ = 28,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 20,33, M_C = 37,67, M_D = 49, M_E = 54,33 kN·m, M_F = 28,67, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 54,33 kN·m

4.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 47 kN, R₂ = 112 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −74, M_D = −84, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −200 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 11,11 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,6 = −13,89 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−13,89)·0,8 = 11,11 kN

Réponse

F_AC = 11,11 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre BF

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud B

AB et BC sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 15 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 83,75 kN (C), GH: 83,75 kN (C), AF: 91,67 kN (C), HE: 70,83 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 47,92 kN (T), HC: 2,083 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: BF

7.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,01957 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 10·6000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,01957 rad

Réponse

θ_A = 0,01957 rad

Soit 1,121°.

8.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,636 × 10⁸ mm⁴

I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 163,6 × 10⁶ mm⁴

9.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 2,18 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·3000 = 6000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Réponse

P_cr = 2,18 kN

10.Flambement des poteaux

Réponse: d = 107,5 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 107,5 mm

Réponse

d = 107,5 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 446,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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