Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 420 g de O₂ à 100 kPa et 30 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 420 gM = 32 g/molP = 100 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de CO₂ à 250 kPa et 110 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 44,01 g/molP = 250 kPaT = 110 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 90 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 150 → 110 °Ct: 30 → 70 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique réversible (de Carnot) reçoit 3600 kJ de chaleur d’une source à 575 °C et en rejette 1202 kJ par cycle. Trouvez la température T_L de la source froide en °C.

T_H = 575 °CQ_H = 3600 kJQ_L = 1202 kJ

T_L = °C

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Une pompe à chaleur maintient une maison à 21 °C alors qu’il fait -5 °C dehors, en fournissant 4 kW de chaleur à la maison. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇ_min.

T_H = 21 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 4 kW

Ẇ_min = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 19 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 2,2. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 19r_c = 2,2k = 1,4

η = %

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 14. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1300 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 14T₁ = 288 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 330,8 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 420/32 = 13,13 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Volume

V = nRT/P = 13,13·8,314·303,1/100 = 330,8 L

Réponse

V = 330,8 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 3,454 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273,15 = 383,1 K

Masse volumique

ρ = 250·44,01/(8,314·383,1) = 3,454 kg/m³

Réponse

ρ = 3,454 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 45,02 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·2,44·(150 − 90) = 73,2 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 73,2/(0,5·4,18) = 45,02 °C

Réponse

t_out = 45,02 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,788 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1,5·2,44·(150 − 110) = 146,4 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·146,4 = 131,8 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 131,8/(4,18·40) = 0,788 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,788 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: T_L = 10,04 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Température absolue de la source

T_H = 575 + 273,15 = 848,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 848,1·1202/3600 = 283,2 K = 10,04 °C

Réponse

T_L = 10,04 °C

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ_min = 0,3536 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = -5 + 273,15 = 268,1 K

Meilleur COP possible

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294,1/(294,1 − 268,1) = 11,31

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 4/11,31 = 0,3536 kW

Réponse

Ẇ_min = 0,3536 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 63,05 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Terme d’injection

(2,2^1,4 − 1)/(1,4·(2,2 − 1)) = 1,2

Rendement thermique

η = 1 − 0,308·1,2 = 63,05%

Réponse

η = 63,05%

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 366,1 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T₂ = 288·14^0,2857 = 612,1 K

T₄ = 1300/14^0,2857 = 611,6 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(612,1 − 288) = 325,8 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 611,6) = 691,8 kJ/kg

Travail net

w_net = 691,8 − 325,8 = 366,1 kJ/kg

Réponse

w_net = 366,1 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 47,09%.

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