Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
500 g de ArP = 650 kPaT = 75 °CV = ?

Quel volume V occupent 500 g de Ar à 650 kPa et 75 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 500 gM = 39,95 g/molP = 650 kPaT = 75 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
CH₄, M = 16,04 g/molP = 900 kPaT = 70 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de CH₄ à 900 kPa et 70 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 16,04 g/molP = 900 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidéthanol · 160 °C60 °Ceau · 20 °Ct = ? °C

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 20 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 160 °C100 °Ceau · 10 °C90 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du mélange glycolé chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 2 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Ct: 10 → 90 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 35 °CTL​ = -18 °CRQ̇H​ = ?Q̇L​ = 4,5 kWẆ

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à -18 °C en extrayant 4,5 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 35 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇H qu’il rejette.

TL = -18 °CTH = 35 °CQ̇L = 4,5 kW
Q̇H = kW
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 45 °CTL​ = 10 °CHPQ̇H​ = 13 kWQ̇L​Ẇ = ?

Une pompe à chaleur fournit 13 kW de chaleur à un système de chauffage à 45 °C, en prélevant de la chaleur à une source à 10 °C. Son COP réel vaut 55 % du COP de Carnot entre ces températures. Trouvez la puissance électrique Ẇ qu’elle consomme.

TH = 45 °CTL = 10 °CηII = 55%Q̇H = 13 kW
Ẇ = kW
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 2,2. Au début de la compression, l’air est à 305 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée qin par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 16rc = 2,2T1 = 305 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

rp = 8k = 1,4
η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 55,73 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 500/39,95 = 12,52 mol
T = 75 + 273,15 = 348,1 K

Volume

V = nRT/P = 12,52·8,314·348,1/650 = 55,73 L

Réponse

V = 55,73 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 5,06 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Masse volumique

ρ = 900·16,04/(8,314·343,1) = 5,06 kg/m³

Réponse

ρ = 5,06 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 92,97 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,44·(160 − 60) = 610 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 20 + 610/(2·4,18) = 92,97 °C

Réponse

tout = 92,97 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 1,098 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 2·3,6·(160 − 100) = 432 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·432 = 367,2 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 367,2/(4,18·80) = 1,098 kg/s

Réponse

ṁc = 1,098 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇H = 5,435 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 35 + 273,15 = 308,1 K
TL = -18 + 273,15 = 255,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇H = Q̇L·TH/TL = 4,5·308,1/255,1 = 5,435 kW

Réponse

Q̇H = 5,435 kW

Puissance consommée : Ẇ = 0,9347 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ = 2,6 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 45 + 273,15 = 318,1 K
TL = 10 + 273,15 = 283,1 K

COP de Carnot et COP réel

COPmax = 318,1/(318,1 − 283,1) = 9,09
COP = 0,55·9,09 = 5

Puissance consommée

Ẇ = Q̇H/COP = 13/5 = 2,6 kW

Réponse

Ẇ = 2,6 kW
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: qin = 1115 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Températures

T2 = 305·160,4 = 924,6 K
T3 = 2,2·924,6 = 2034 K

Chaleur apportée à pression constante

qin = 1,005·(2034 − 924,6) = 1115 kJ/kg

Réponse

qin = 1115 kJ/kg
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 44,8 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Rendement thermique

η = 1 − 1/80,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Réponse

η = 44,8%

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