Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
70 g de O₂V = 30 LT = 100 °CP = ?

Un réservoir de 30 L contient 70 g de O₂ à 100 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 70 gM = 32 g/molV = 30 LT = 100 °CR = 8,314 J/(mol·K)
P = kPa
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
Ar, M = 39,95 g/molP = 900 kPaT = 150 °Cρ = ?

Trouvez la masse volumique ρ de Ar à 900 kPa et 150 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 39,95 g/molP = 900 kPaT = 150 °CR = 8,314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidmélange glycolé · 120 °C80 °Ceau · 10 °Ct = ? °C

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 3,6 kJ/(kg·K)Th: 120 → 80 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidéthanol · 140 °C70 °Ceau · 10 °C70 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Ct: 10 → 70 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 425 °CTL​ = 15 °CEQH​ = 1300 kJQL​W = ?

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 425 °C et une source froide à 15 °C. Il reçoit 1300 kJ de chaleur. Trouvez le travail maximal Wmax qu’il pourrait produire.

TH = 425 °CTL = 15 °CQH = 1300 kJ
Wmax = kJ
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 21 °CTL​ = 5 °CHPQ̇H​ = 7 kWQ̇L​Ẇ

Une pompe à chaleur maintient une maison à 21 °C alors qu’il fait 5 °C dehors, en fournissant 7 kW de chaleur à la maison. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COPmax.

TH = 21 °CTL = 5 °CQ̇H = 7 kW
COPmax =
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée qin par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 16rc = 1,8T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 15. L’air entre dans le compresseur à 288 K et dans la turbine à 1200 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni wnet par kilogramme d’air, en kJ/kg.

rp = 15T1 = 288 KT3 = 1200 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
wnet = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 226,2 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 70/32 = 2,188 mol
T = 100 + 273,15 = 373,1 K

Pression

P = nRT/V = 2,188·8,314·373,1/0,03 = 226,2 kPa

Réponse

P = 226,2 kPa
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 10,22 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 150 + 273,15 = 423,1 K

Masse volumique

ρ = 900·39,95/(8,314·423,1) = 10,22 kg/m³

Réponse

ρ = 10,22 kg/m³
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 44,45 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·3,6·(120 − 80) = 72 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 72/(0,5·4,18) = 44,45 °C

Réponse

tout = 44,45 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 1,158 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 2·2,44·(140 − 70) = 341,6 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·341,6 = 290,4 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 290,4/(4,18·60) = 1,158 kg/s

Réponse

ṁc = 1,158 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Wmax = 763,4 kJ

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 425 + 273,15 = 698,1 K
TL = 15 + 273,15 = 288,1 K

Rendement de Carnot

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288,1/698,1 = 58,73 %

Travail maximal

Wmax = ηmax·QH = 0,5873·1300 = 763,4 kJ

Réponse

Wmax = 763,4 kJ
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COPmax = 18,38

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 21 + 273,15 = 294,1 K
TL = 5 + 273,15 = 278,1 K

Meilleur COP possible

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294,1/(294,1 − 278,1) = 18,38

Réponse

COPmax = 18,38
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: qin = 755,6 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Températures

T2 = 310·160,4 = 939,7 K
T3 = 1,8·939,7 = 1692 K

Chaleur apportée à pression constante

qin = 1,005·(1692 − 939,7) = 755,6 kJ/kg

Réponse

qin = 755,6 kJ/kg
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: wnet = 311,7 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Températures isentropiques

T2 = 288·150,2857 = 624,3 K
T4 = 1200/150,2857 = 553,5 K

Travaux du compresseur et de la turbine

wc = 1,005·(624,3 − 288) = 338 kJ/kg
wt = 1,005·(1200 − 553,5) = 649,7 kJ/kg

Travail net

wnet = 649,7 − 338 = 311,7 kJ/kg

Réponse

wnet = 311,7 kJ/kg

Rapport de travail de compression : wc/wt = 52,03%.

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