Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 250 g de CH₄ à 700 kPa et 45 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 250 gM = 16,04 g/molP = 700 kPaT = 45 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Trouvez la masse volumique ρ de CO₂ à 700 kPa et 130 °C, en le considérant comme un gaz parfait.

M = 44,01 g/molP = 700 kPaT = 130 °CR = 8,314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.Bilan d’énergieMoyen

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 5 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 80 °Ct: 20 → 55 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à -25 °C en extrayant 2,5 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 20 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_H qu’il rejette.

T_L = -25 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 2,5 kW

Q̇_H = kW

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -18 °C dans une cuisine à 28 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 0,5 kW. Trouvez la puissance minimale à fournir Ẇ_min.

T_H = 28 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 0,5 kW

Ẇ_min = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 14 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 3. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 14r_c = 3k = 1,4

η = %

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 8. L’air entre dans le compresseur à 300 K et dans la turbine à 1500 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 8T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 58,9 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 250/16,04 = 15,59 mol

T = 45 + 273,15 = 318,1 K

Volume

V = nRT/P = 15,59·8,314·318,1/700 = 58,9 L

Réponse

V = 58,9 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: ρ = 9,191 kg/m³

Masse volumique d’un gaz parfait : ρ = PM/(RT).

Réarranger la loi des gaz

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273,15 = 403,1 K

Masse volumique

ρ = 700·44,01/(8,314·403,1) = 9,191 kg/m³

Réponse

ρ = 9,191 kg/m³

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 150,6 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 3·2,1·(170 − 80) = 567 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 567/(1·4,18) = 150,6 °C

Réponse

t_out = 150,6 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 2,727 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 2,5·2,1·(160 − 80) = 420 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,05)·420 = 399 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 399/(4,18·35) = 2,727 kg/s

Réponse

ṁ_c = 2,727 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_H = 2,953 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 20 + 273,15 = 293,1 K

T_L = -25 + 273,15 = 248,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 2,5·293,1/248,1 = 2,953 kW

Réponse

Q̇_H = 2,953 kW

Puissance consommée : Ẇ = 0,4534 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ_min = 0,09014 kW

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = -18 + 273,15 = 255,1 K

Meilleur COP possible

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255,1/(301,1 − 255,1) = 5,547

Puissance minimale

Le moins de travail est demandé par une machine réversible, qui a le COP le plus élevé.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0,5/5,547 = 0,09014 kW

Réponse

Ẇ_min = 0,09014 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 54,57 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Terme d’injection

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Rendement thermique

η = 1 − 0,348·1,306 = 54,57%

Réponse

η = 54,57%

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 430,6 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T₂ = 300·8^0,2857 = 543,4 K

T₄ = 1500/8^0,2857 = 828,1 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(543,4 − 300) = 244,7 kJ/kg

w_t = 1,005·(1500 − 828,1) = 675,3 kJ/kg

Travail net

w_net = 675,3 − 244,7 = 430,6 kJ/kg

Réponse

w_net = 430,6 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 36,23%.

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