Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 260 g de CH₄ à 300 kPa et 30 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 260 gM = 16,04 g/molP = 300 kPaT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Une quantité fixe de He passe de 350 kPa, 5 L, 10 °C à 100 kPa et 130 °C. Trouvez le nouveau volume V₂.

P₁ = 350 kPaV₁ = 5 LT₁ = 10 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 130 °C

V₂ = L

3.Bilan d’énergieMoyen

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du huile légère chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2,1 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 120 °Ct: 15 → 60 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 450 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 25 °C. Son rendement thermique réel est de 32 %. Trouvez son rendement exergétique η_II, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

T_H = 450 °CT_L = 25 °Cη = 32%

η_II = %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un moteur de Carnot reçoit 40 kW de chaleur d’une source à 900 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 27 °C. Tout son travail entraîne un réfrigérateur de Carnot qui extrait de la chaleur d’un congélateur à -30 °C et rejette lui aussi de la chaleur vers l’environnement à 27 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_L extraite du congélateur.

T_H = 900 °CT₀ = 27 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 18 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 1,5. Au début de la compression, l’air est à 300 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la température T₃ à la fin de l’apport de chaleur, en K.

r = 18r_c = 1,5T₁ = 300 Kk = 1,4

T₃ = K

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 20. L’air entre dans le compresseur à 300 K et dans la turbine à 1500 K. Le compresseur a un rendement isentropique de 82 % et la turbine de 90 %. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 20T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kη_c = 82%η_t = 90%k = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 136,2 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 260/16,04 = 16,21 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Volume

V = nRT/P = 16,21·8,314·303,1/300 = 136,2 L

Réponse

V = 136,2 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V₂ = 24,92 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Températures absolues

T₁ = 283,1 K, T₂ = 403,1 K

Loi combinée des gaz

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(350/100)·(403,1/283,1) = 24,92 L

Réponse

V₂ = 24,92 L

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 60,17 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 1·2,1·(130 − 60) = 147 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 147/(1·4,18) = 60,17 °C

Réponse

t_out = 60,17 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 1,139 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 2·2,1·(180 − 120) = 252 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,15)·252 = 214,2 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 214,2/(4,18·45) = 1,139 kg/s

Réponse

ṁ_c = 1,139 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: η_II = 54,45 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 450 + 273,15 = 723,1 K

T_L = 25 + 273,15 = 298,1 K

Rendement de Carnot

η_Carnot = 1 − 298,1/723,1 = 58,77 %

Rendement exergétique

η_II = η/η_Carnot = 32/58,77 = 54,45 %

Réponse

η_II = 54,45 %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_L = 127 kW

Températures absolues

T_H = 900 + 273,15 = 1173 K

T₀ = 27 + 273,15 = 300,1 K

T_L = -30 + 273,15 = 243,1 K

Travail du moteur

η = 1 − 300,1/1173 = 0,7442

Ẇ = 0,7442·40 = 29,77 kW

Chaleur extraite par le réfrigérateur

COP_R = 243,1/(300,1 − 243,1) = 4,266

Q̇_L = 4,266·29,77 = 127 kW

Réponse

Q̇_L = 127 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: T₃ = 1430 K

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Fin de compression

T₂ = 300·18^0,4 = 953,3 K

Apport de chaleur à pression constante

T₃ = r_c·T₂ = 1,5·953,3 = 1430 K

Réponse

T₃ = 1430 K

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 282,6 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T_2s = 300·20^0,2857 = 706,1 K

T_4s = 1500/20^0,2857 = 637,3 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(706,1 − 300)/0,82 = 497,7 kJ/kg

w_t = 0,9·1,005·(1500 − 637,3) = 780,3 kJ/kg

Travail net

w_net = 780,3 − 497,7 = 282,6 kJ/kg

Réponse

w_net = 282,6 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 63,78%.

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