Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Quel volume V occupent 450 g de O₂ à 600 kPa et 90 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 450 gM = 32 g/molP = 600 kPaT = 90 °CR = 8,314 J/(mol·K)

V = L

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Une quantité fixe de O₂ passe de 100 kPa, 20 L, 30 °C à 350 kPa et 60 °C. Trouvez le nouveau volume V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 20 LT₁ = 30 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

3.Bilan d’énergieMoyen

Du éthanol chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 0,5 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 80 °Cṁ_c = 0,5 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 25 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 110 °Ct: 20 → 45 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un moteur thermique fonctionne entre une source chaude à 350 °C et une source froide à 40 °C. Trouvez le rendement thermique maximal possible η_max.

T_H = 350 °CT_L = 40 °C

η_max = %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Une pompe à chaleur fournit 10,5 kW de chaleur à un système de chauffage à 21 °C, en prélevant de la chaleur à une source à 0 °C. Son COP réel vaut 55 % du COP de Carnot entre ces températures. Trouvez la puissance électrique Ẇ qu’elle consomme.

T_H = 21 °CT_L = 0 °Cη_II = 55%Q̇_H = 10,5 kW

Ẇ = kW

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 19 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 3. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r = 19r_c = 3k = 1,4

η = %

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Une installation de turbine à gaz fonctionne selon un cycle de Brayton avec un rapport de pression au compresseur de 10. L’air entre dans le compresseur à 310 K et dans la turbine à 1300 K. Les deux machines sont isentropiques. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez le travail net fourni w_net par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r_p = 10T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 70,76 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 450/32 = 14,06 mol

T = 90 + 273,15 = 363,1 K

Volume

V = nRT/P = 14,06·8,314·363,1/600 = 70,76 L

Réponse

V = 70,76 L

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V₂ = 6,28 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Températures absolues

T₁ = 303,1 K, T₂ = 333,1 K

Loi combinée des gaz

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 20·(100/350)·(333,1/303,1) = 6,28 L

Réponse

V₂ = 6,28 L

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 77,54 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 0,5·2,44·(170 − 80) = 109,8 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 25 + 109,8/(0,5·4,18) = 77,54 °C

Réponse

t_out = 77,54 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 0,6304 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1·2,44·(140 − 110) = 73,2 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·73,2 = 65,88 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 65,88/(4,18·25) = 0,6304 kg/s

Réponse

ṁ_c = 0,6304 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: η_max = 49,75 %

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 350 + 273,15 = 623,1 K

T_L = 40 + 273,15 = 313,1 K

Rendement de Carnot

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313,1/623,1 = 49,75 %

Réponse

η_max = 49,75 %

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Ẇ = 1,363 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 21 + 273,15 = 294,1 K

T_L = 0 + 273,15 = 273,1 K

COP de Carnot et COP réel

COP_max = 294,1/(294,1 − 273,1) = 14,01

COP = 0,55·14,01 = 7,704

Puissance consommée

Ẇ = Q̇_H/COP = 10,5/7,704 = 1,363 kW

Réponse

Ẇ = 1,363 kW

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 59,79 %

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Terme d’injection

(3^1,4 − 1)/(1,4·(3 − 1)) = 1,306

Rendement thermique

η = 1 − 0,308·1,306 = 59,79%

Réponse

η = 59,79%

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: w_net = 339,8 kJ/kg

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Températures isentropiques

T₂ = 310·10^0,2857 = 598,5 K

T₄ = 1300/10^0,2857 = 673,3 K

Travaux du compresseur et de la turbine

w_c = 1,005·(598,5 − 310) = 290 kJ/kg

w_t = 1,005·(1300 − 673,3) = 629,8 kJ/kg

Travail net

w_net = 629,8 − 290 = 339,8 kJ/kg

Réponse

w_net = 339,8 kJ/kg

Rapport de travail de compression : w_c/w_t = 46,04%.

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