Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits
pV = nRT
Constante des gaz parfaits
R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz
p1V1/T1 = p2V2/T2
Moles
n = m/M
Température
T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible
Q = ṁ·cp·ΔT
Chaleur latente
Q = ṁ·hfg
Mélange
ΣṁcpTin = ΣṁcpTout
Eau
cp ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement
η = W/QH = 1 − QC/QH
Rendement de Carnot
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
COP du réfrigérateur
COPR = QC/W
COP de la pompe à chaleur
COPHP = QH/W = COPR + 1
Bilan d’énergie
QH = W + QC

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes
T2/T1 = rk−1
Isentropique, rapport des pressions
T2/T1 = rp(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto
η = 1 − 1/rk−1
Rendement du cycle Diesel
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Rendement du cycle de Brayton
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Chaleur apportée
Otto : cv(T3 − T2) Diesel, Brayton : cp(T3 − T2)
Travail net du cycle de Brayton
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Rendements isentropiques
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Hypothèse air froid
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen
130 g de ArP = 750 kPaT = 55 °CV = ?

Quel volume V occupent 130 g de Ar à 750 kPa et 55 °C ? Considérez-le comme un gaz parfait.

m = 130 gM = 39,95 g/molP = 750 kPaT = 55 °CR = 8,314 J/(mol·K)
V = L
2.Loi des gaz parfaitsDifficile
État 1État 2

Une quantité fixe de CO₂ passe de 100 kPa, 2 L, 30 °C à 400 kPa et 80 °C. Trouvez le nouveau volume V2.

P1 = 100 kPaV1 = 2 LT1 = 30 °CP2 = 400 kPaT2 = 80 °C
V2 = L
3.Bilan d’énergieMoyen
côté chaudcôté froidhuile légère · 140 °C60 °Ceau · 10 °Ct = ? °C

Du huile légère chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau tout.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)tin = 10 °C
tout = °C
4.Bilan d’énergieDifficile
côté chaudcôté froidéthanol · 160 °C120 °Ceau · 25 °C80 °C · ṁ = ?15 % perdus

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 15 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁc nécessaire.

ṁh = 2,5 kg/scp,h = 2,44 kJ/(kg·K)Th: 160 → 120 °Ct: 25 → 80 °Ccp,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 15 %
ṁc = kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen
TH​ = 550 °CTL​ = 25 °CEQH​QL​η = 38%

Un moteur thermique reçoit de la chaleur d’une source à 550 °C et rejette de la chaleur vers l’environnement à 25 °C. Son rendement thermique réel est de 38 %. Trouvez son rendement exergétique ηII, rapport du rendement réel au rendement de Carnot.

TH = 550 °CTL = 25 °Cη = 38%
ηII = %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile
TH​ = 20 °CTL​ = -10 °CHPQ̇H​ = 8 kWQ̇L​Ẇ

Une pompe à chaleur maintient une maison à 20 °C alors qu’il fait -10 °C dehors, en fournissant 8 kW de chaleur à la maison. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COPmax.

TH = 20 °CTL = -10 °CQ̇H = 8 kW
COPmax =
7.Cycles moteurs à gazMoyen
vP1234qin​qout​

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 15 et un rapport d’injection rc = v₃/v₂ = 1,8. Au début de la compression, l’air est à 310 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée qin par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 15rc = 1,8T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)
qin = kJ/kg
8.Cycles moteurs à gazDifficile
vP1234qin​qout​

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) et cv = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

rp = 8k = 1,4
η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: V = 11,84 L

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = 130/39,95 = 3,254 mol
T = 55 + 273,15 = 328,1 K

Volume

V = nRT/P = 3,254·8,314·328,1/750 = 11,84 L

Réponse

V = 11,84 L
2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V2 = 0,5825 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P1V1/T1 = P2V2/T2.

Températures absolues

T1 = 303,1 K, T2 = 353,1 K

Loi combinée des gaz

V2 = V1·(P1/P2)·(T2/T1) = 2·(100/400)·(353,1/303,1) = 0,5825 L

Réponse

V2 = 0,5825 L
3.Bilan d’énergie

Réponse: tout = 43,49 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(tout − tin).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·2,1·(140 − 60) = 420 kW

Chaleur reçue par l’eau

tout = tin + Q/(ṁccp,c) = 10 + 420/(3·4,18) = 43,49 °C

Réponse

tout = 43,49 °C
4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁc = 0,9021 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Qh = 2,5·2,44·(160 − 120) = 244 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Qc = (1 − 0,15)·244 = 207,4 kW

Débit d’eau

ṁc = Qc/(cp,c·Δt) = 207,4/(4,18·55) = 0,9021 kg/s

Réponse

ṁc = 0,9021 kg/s
5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: ηII = 59,58 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 550 + 273,15 = 823,1 K
TL = 25 + 273,15 = 298,1 K

Rendement de Carnot

ηCarnot = 1 − 298,1/823,1 = 63,78 %

Rendement exergétique

ηII = η/ηCarnot = 38/63,78 = 59,58 %

Réponse

ηII = 59,58 %
6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COPmax = 9,772

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues TH et TL ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) et COPHP,max = TH/(TH − TL). L’énergie est toujours conservée : QH = W + QL.

Températures absolues

TH = 20 + 273,15 = 293,1 K
TL = -10 + 273,15 = 263,1 K

Meilleur COP possible

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 293,1/(293,1 − 263,1) = 9,772

Réponse

COPmax = 9,772
7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: qin = 736,3 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection rc = v₃/v₂ : T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Températures

T2 = 310·150,4 = 915,8 K
T3 = 1,8·915,8 = 1648 K

Chaleur apportée à pression constante

qin = 1,005·(1648 − 915,8) = 736,3 kJ/kg

Réponse

qin = 736,3 kJ/kg
8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 44,8 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression rp = P₂/P₁ : T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k et η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Travail net w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande ws/ηc et la turbine fournit ηt·ws.

Rendement thermique

η = 1 − 1/80,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Réponse

η = 44,8%

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