Thermodynamique 1 : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi des gaz parfaits

Loi des gaz parfaits: pV = nRT
Constante des gaz parfaits: R = 8,314 J/(mol·K)
Loi combinée des gaz: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
Moles: n = m/M
Température: T[K] = T[°C] + 273,15

Bilan d’énergie

Chaleur sensible: Q = ṁ·c_p·ΔT
Chaleur latente: Q = ṁ·h_fg
Mélange: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
Eau: c_p ≈ 4,18 kJ/(kg·K)

Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Rendement: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
Rendement de Carnot: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
COP du réfrigérateur: COP_R = Q_C/W
COP de la pompe à chaleur: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
Bilan d’énergie: Q_H = W + Q_C

Cycles moteurs à gaz

Isentropique, rapport des volumes: T₂/T₁ = r^k−1
Isentropique, rapport des pressions: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
Rendement du cycle d’Otto: η = 1 − 1/r^k−1
Rendement du cycle Diesel: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
Rendement du cycle de Brayton: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
Chaleur apportée: Otto : c_v(T₃ − T₂) Diesel, Brayton : c_p(T₃ − T₂)
Travail net du cycle de Brayton: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
Rendements isentropiques: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
Hypothèse air froid: k = 1,4, c_p = 1,005, c_v = 0,718 kJ/(kg·K)

2Exercices

1.Loi des gaz parfaitsMoyen

Un réservoir de 20 L contient 210 g de He à 30 °C. Considérez-le comme un gaz parfait et trouvez la pression P.

m = 210 gM = 4,003 g/molV = 20 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

P = kPa

2.Loi des gaz parfaitsDifficile

Une quantité fixe de CH₄ passe de 100 kPa, 5 L, 30 °C à 150 kPa et 250 °C. Trouvez le nouveau volume V₂.

P₁ = 100 kPaV₁ = 5 LT₁ = 30 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

3.Bilan d’énergieMoyen

Du mélange glycolé chaud refroidit de l’eau dans un échangeur à contre-courant sans pertes. Trouvez la température de sortie de l’eau t_out.

ṁ_h = 2,5 kg/sc_p,h = 3,6 kJ/(kg·K)T_h: 170 → 140 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)t_in = 10 °C

t_out = °C

4.Bilan d’énergieDifficile

Du éthanol chaud réchauffe de l’eau dans un échangeur qui perd vers l’extérieur 10 % de la chaleur cédée par le flux chaud. Trouvez le débit d’eau ṁ_c nécessaire.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2,44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Ct: 20 → 40 °Cc_p,c = 4,18 kJ/(kg·K)pertes = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateursMoyen

Un réfrigérateur réversible maintient une chambre froide à 2 °C en extrayant 5,5 kW de chaleur, et rejette de la chaleur vers l’environnement à 28 °C. Trouvez la puissance thermique Q̇_H qu’il rejette.

T_L = 2 °CT_H = 28 °CQ̇_L = 5,5 kW

Q̇_H = kW

6.Moteurs thermiques et réfrigérateursDifficile

Un réfrigérateur maintient son compartiment à -10 °C dans une cuisine à 25 °C, en extrayant la chaleur du compartiment à raison de 2 kW. Trouvez le coefficient de performance maximal possible COP_max.

T_H = 25 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 2 kW

COP_max =

7.Cycles moteurs à gazMoyen

Un cycle Diesel idéal a un rapport volumétrique r = 16 et un rapport d’injection r_c = v₃/v₂ = 3. Au début de la compression, l’air est à 320 K. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez la chaleur apportée q_in par kilogramme d’air, en kJ/kg.

r = 16r_c = 3T₁ = 320 Kk = 1,4c_p = 1,005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

8.Cycles moteurs à gazDifficile

Un cycle de Brayton idéal fonctionne avec un rapport de pression au compresseur de 8. Utilisez les hypothèses de l’air standard froid : l’air est un gaz parfait à capacités thermiques constantes, k = 1,4, c_p = 1,005 kJ/(kg·K) et c_v = 0,718 kJ/(kg·K). Trouvez son rendement thermique η en pourcentage.

r_p = 8k = 1,4

η = %

3Solutions

1.Loi des gaz parfaits

Réponse: P = 6611 kPa

Loi des gaz parfaits : PV = nRT, avec n = m/M.

Moles

n = m/M = 210/4,003 = 52,46 mol

T = 30 + 273,15 = 303,1 K

Pression

P = nRT/V = 52,46·8,314·303,1/0,02 = 6611 kPa

Réponse

P = 6611 kPa

2.Loi des gaz parfaits

Réponse: V₂ = 5,752 L

Loi combinée des gaz : pour une quantité fixe de gaz parfait, P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

Températures absolues

T₁ = 303,1 K, T₂ = 523,1 K

Loi combinée des gaz

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(100/150)·(523,1/303,1) = 5,752 L

Réponse

V₂ = 5,752 L

3.Bilan d’énergie

Réponse: t_out = 74,59 °C

Bilan d’énergie de l’échangeur : sans pertes, ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

Chaleur cédée par le flux chaud

Q = 2,5·3,6·(170 − 140) = 270 kW

Chaleur reçue par l’eau

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 10 + 270/(1·4,18) = 74,59 °C

Réponse

t_out = 74,59 °C

4.Bilan d’énergie

Réponse: ṁ_c = 1,576 kg/s

Bilan d’énergie avec pertes : chaleur cédée = chaleur absorbée + chaleur perdue.

Chaleur cédée

Q_h = 1·2,44·(120 − 60) = 146,4 kW

Chaleur qui atteint l’eau

Q_c = (1 − 0,1)·146,4 = 131,8 kW

Débit d’eau

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 131,8/(4,18·20) = 1,576 kg/s

Réponse

ṁ_c = 1,576 kg/s

5.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: Q̇_H = 6,02 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 28 + 273,15 = 301,1 K

T_L = 2 + 273,15 = 275,1 K

Rapport des chaleurs en réversible

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5,5·301,1/275,1 = 6,02 kW

Réponse

Q̇_H = 6,02 kW

Puissance consommée : Ẇ = 0,5197 kW.

6.Moteurs thermiques et réfrigérateurs

Réponse: COP_max = 7,519

Limites du second principe : aucun cycle entre des sources aux températures absolues T_H et T_L ne peut battre le cycle réversible (de Carnot) : η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) et COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). L’énergie est toujours conservée : Q_H = W + Q_L.

Températures absolues

T_H = 25 + 273,15 = 298,1 K

T_L = -10 + 273,15 = 263,1 K

Meilleur COP possible

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263,1/(298,1 − 263,1) = 7,519

Réponse

COP_max = 7,519

7.Cycles moteurs à gaz

Réponse: q_in = 1950 kJ/kg

Cycle Diesel (moteur à allumage par compression) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique, 4→1 rejet de chaleur à volume constant. Avec le rapport volumétrique r = v₁/v₂ et le rapport d’injection r_c = v₃/v₂ : T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) et η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1)).

Températures

T₂ = 320·16^0,4 = 970,1 K

T₃ = 3·970,1 = 2910 K

Chaleur apportée à pression constante

q_in = 1,005·(2910 − 970,1) = 1950 kJ/kg

Réponse

q_in = 1950 kJ/kg

8.Cycles moteurs à gaz

Réponse: η = 44,8 %

Cycle de Brayton (turbine à gaz) : 1→2 compression isentropique, 2→3 apport de chaleur à pression constante, 3→4 détente isentropique dans la turbine, 4→1 rejet de chaleur à pression constante. Avec le rapport de pression r_p = P₂/P₁ : T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k et η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k. Travail net w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Avec les rendements isentropiques, le compresseur demande w_s/η_c et la turbine fournit η_t·w_s.

Rendement thermique

η = 1 − 1/8^0,2857 = 1 − 1/1,811 = 44,8%

Réponse

η = 44,8%

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