Ressorts et pendules
- Masse sur un ressort
- T = 2π·√(m/k)
- Pendule
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsation
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Vitesse et accélération maximales
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Énergie
- E = ½·k·A²
Ondes et optique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Ondes, son et optique
- Vitesse de l’onde
- v = fλ, T = 1/f
- Corde
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Niveau sonore
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Source ponctuelle
- I = P/(4πr²)
- Ondes stationnaires
- corde ou tuyau ouvert fn = n·v/(2L) ; tuyau fermé fn = n·v/(4L), n impair
- Effet Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice de réfraction
- n = c/v, λ = λ0/n
- Loi de Snell-Descartes
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angle critique
- sin θc = n2/n1
- Fibre optique
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentilles et miroirs
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doubles fentes
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Réseau
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fente simple
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Méthode
- Identifiez le type de problème : vitesse d’une onde, niveau sonore, onde stationnaire, Doppler, réfraction, lentille ou miroir, ou interférences.
- Écrivez d’abord la relation : v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Convertissez les unités : nm, mm et cm en m, et vérifiez si les angles sont mesurés par rapport à la normale.
- Vérifiez les signes et la vraisemblance : une image virtuelle a dᵢ < 0, une source qui s’approche paraît plus aiguë, un tuyau fermé n’a que des harmoniques impairs.
2Exercices
1.Ressorts et pendulesMoyen
Une masse de 2,8 kg accrochée à un ressort de raideur k = 400 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 4 cm. Trouvez sa vitesse v quand elle est à 3 cm de la position d’équilibre.
m = 2,8 kgk = 400 N/mA = 4 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Ressorts et pendulesDifficile
Une masse de 0,4 kg fixée à un ressort de raideur k = 360 N/m est écartée de 12 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez sa vitesse maximale vmax.
m = 0,4 kgk = 360 N/mA = 12 cm
vmax = m/s
3.Ondes, son et optiqueMoyen
Une corde fixée aux deux extrémités doit avoir son fondamentale (premier harmonique) à 100 Hz ; les ondes s’y propagent à 200 m/s. Trouvez sa longueur L.
v = 200 m/sn = 1f1 = 100 Hz
L = m
4.Ondes, son et optiqueDifficile
Une fibre optique a un cœur d’indice n₁ = 1,48 et une gaine d’indice n₂ = 1,46. Trouvez le plus grand angle θa avec l’axe de la fibre sous lequel la lumière venant de l’air peut entrer par l’extrémité de la fibre et rester guidée par réflexion totale interne.
n1 = 1,48n2 = 1,46n0 = 1,00
θa = °
3Solutions
1.Ressorts et pendules
Réponse: v = 0,3162 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsation
ω = √(400/2,8) = 11,95 rad/s
Vitesse en x
v = ω·√(A² − x²) = 11,95·√(0,04² − 0,03²) = 0,3162 m/s
Réponse
v = 0,3162 m/s
2.Ressorts et pendules
Réponse: vmax = 3,6 m/s
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Pulsation
ω = √(360/0,4) = 30 rad/s
Vitesse maximale
vmax = A·ω = 0,12·30 = 3,6 m/s
Réponse
vmax = 3,6 m/s
3.Ondes, son et optique
Réponse: L = 1 m
Ondes stationnaires et effet Doppler : une corde fixée aux deux extrémités, ou un tuyau ouvert aux deux extrémités, contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde : L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tuyau fermé à une extrémité a un nœud à l’extrémité fermée et un ventre à l’extrémité ouverte : L = nλ/4 avec n impair seulement, fn = n·v/(4L). Quand la source ou l’observateur se déplace sur la ligne qui les joint, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) : utilisez les signes supérieurs pour un mouvement de rapprochement. Deux ondes de fréquences presque égales battent à |f₁ − f₂|.
Longueur d’onde
λ = v/f = 200/100 = 2 m
Longueur
L = nλ/2 = 1·2/2 = 1 m
Réponse
L = 1 m
4.Ondes, son et optique
Réponse: θa = 14,03 °
Optique géométrique : à une interface, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (loi de Snell-Descartes), avec les angles mesurés par rapport à la normale et n = c/v. En entrant dans un milieu plus lent, le rayon se rapproche de la normale. Depuis un milieu plus dense (n₁ > n₂), au-delà de l’angle critique θc = arcsin(n₂/n₁), toute la lumière est réfléchie : réflexion totale interne. Les lentilles minces et les miroirs sphériques obéissent à 1/f = 1/do + 1/di avec le grandissement m = −di/do. Convention de signes : f > 0 pour une lentille convergente et un miroir concave (f = R/2), f < 0 pour une lentille divergente et un miroir convexe ; di > 0 pour une image réelle, di < 0 pour une image virtuelle, et m < 0 pour une image renversée.
Angle critique à la gaine
sin θc = 1,46/1,48 = 0,9865 → θc = 80,57°
Ouverture numérique
NA = √(1,48² − 1,46²) = 0,2425
Angle d’acceptance
θa = arcsin(0,2425) = 14,03°
Réponse
θa = 14,03°
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