Ondes et optique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Ressorts et pendules

Masse sur un ressort: T = 2π·√(m/k)
Pendule: T = 2π·√(L/g)
Pulsation: ω = √(k/m) = 2π/T
Vitesse et accélération maximales: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Énergie: E = ½·k·A²

Ondes, son et optique

Vitesse de l’onde: v = fλ, T = 1/f
Corde: v = √(T/μ), μ = m/L
Niveau sonore: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Source ponctuelle: I = P/(4πr²)
Ondes stationnaires: corde ou tuyau ouvert f_n = n·v/(2L) ; tuyau fermé f_n = n·v/(4L), n impair
Effet Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice de réfraction: n = c/v, λ = λ₀/n
Loi de Snell-Descartes: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angle critique: sin θ_c = n₂/n₁
Fibre optique: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentilles et miroirs: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doubles fentes: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Réseau: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fente simple: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Méthode

Identifiez le type de problème : vitesse d’une onde, niveau sonore, onde stationnaire, Doppler, réfraction, lentille ou miroir, ou interférences.
Écrivez d’abord la relation : v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Convertissez les unités : nm, mm et cm en m, et vérifiez si les angles sont mesurés par rapport à la normale.
Vérifiez les signes et la vraisemblance : une image virtuelle a dᵢ < 0, une source qui s’approche paraît plus aiguë, un tuyau fermé n’a que des harmoniques impairs.

2Exercices

1.Ressorts et pendulesMoyen

Une masse de 1,6 kg accrochée à un ressort de raideur k = 200 N/m est écartée de 3 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 0,15 s (avec son signe).

m = 1,6 kgk = 200 N/mA = 3 cmt = 0,15 s

x = cm

2.Ressorts et pendulesDifficile

Une masse de 0,2 kg fixée à un ressort de raideur k = 480 N/m est écartée de 5 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez l’énergie totale E de l’oscillation.

m = 0,2 kgk = 480 N/mA = 5 cm

E = J

3.Ondes, son et optiqueMoyen

Un tuyau fermé à une extrémité mesure 0,5 m de long. La vitesse du son est de 343 m/s. Trouvez la fréquence f₃ de son harmonique de rang 3.

v = 343 m/sn = 3L = 0,5 m

f₃ = Hz

4.Ondes, son et optiqueDifficile

Deux lentilles minces ont le même axe, distantes de 20 cm : la lentille 1 avec f₁ = 12 cm et la lentille 2 avec f₂ = 12 cm. Un objet se trouve à 50 cm devant la lentille 1. Trouvez la position d_i2 de l’image finale mesurée depuis la lentille 2 (positive au-delà de la lentille 2, convention réel = positif).

f₁ = 12 cmf₂ = 12 cms = 20 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3Solutions

1.Ressorts et pendules

Réponse: x = −0,3182 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsation

ω = √(200/1,6) = 11,18 rad/s

ω·t = 11,18·0,15 = 1,677 rad

Déplacement

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(1,677) = −0,3182 cm

Réponse

x = −0,3182 cm

2.Ressorts et pendules

Réponse: E = 0,6 J

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Pulsation

ω = √(480/0,2) = 48,99 rad/s

Énergie

E = ½·k·A² = ½·480·0,05² = 0,6 J

Réponse

E = 0,6 J

3.Ondes, son et optique

Réponse: f₃ = 514,5 Hz

Ondes stationnaires et effet Doppler : une corde fixée aux deux extrémités, ou un tuyau ouvert aux deux extrémités, contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde : L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tuyau fermé à une extrémité a un nœud à l’extrémité fermée et un ventre à l’extrémité ouverte : L = nλ/4 avec n impair seulement, f_n = n·v/(4L). Quand la source ou l’observateur se déplace sur la ligne qui les joint, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) : utilisez les signes supérieurs pour un mouvement de rapprochement. Deux ondes de fréquences presque égales battent à |f₁ − f₂|.

Longueur d’onde de ce mode

λ = 4L/n = 4·0,5/3 = 0,6667 m

Fréquence

f = v/λ = 343/0,6667 = 514,5 Hz

Réponse

f₃ = 514,5 Hz

4.Ondes, son et optique

Réponse: d_i2 = −6,486 cm

Optique géométrique : à une interface, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (loi de Snell-Descartes), avec les angles mesurés par rapport à la normale et n = c/v. En entrant dans un milieu plus lent, le rayon se rapproche de la normale. Depuis un milieu plus dense (n₁ > n₂), au-delà de l’angle critique θ_c = arcsin(n₂/n₁), toute la lumière est réfléchie : réflexion totale interne. Les lentilles minces et les miroirs sphériques obéissent à 1/f = 1/d_o + 1/d_i avec le grandissement m = −d_i/d_o. Convention de signes : f > 0 pour une lentille convergente et un miroir concave (f = R/2), f < 0 pour une lentille divergente et un miroir convexe ; d_i > 0 pour une image réelle, d_i < 0 pour une image virtuelle, et m < 0 pour une image renversée.

Image de la lentille 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/50 → d_i1 = 15,79 cm

Objet pour la lentille 2

d_o2 = 20 − 15,79 = 4,211 cm

Image finale

1/d_i2 = 1/12 − 1/4,211 → d_i2 = −6,486 cm

Réponse

d_i2 = −6,486 cm

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