Ressorts et pendules
- Masse sur un ressort
- T = 2π·√(m/k)
- Pendule
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsation
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Vitesse et accélération maximales
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Énergie
- E = ½·k·A²
Ondes et optique : pack de révision
Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
1Formules et méthodes
Ondes, son et optique
- Vitesse de l’onde
- v = fλ, T = 1/f
- Corde
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Niveau sonore
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Source ponctuelle
- I = P/(4πr²)
- Ondes stationnaires
- corde ou tuyau ouvert fn = n·v/(2L) ; tuyau fermé fn = n·v/(4L), n impair
- Effet Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Indice de réfraction
- n = c/v, λ = λ0/n
- Loi de Snell-Descartes
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Angle critique
- sin θc = n2/n1
- Fibre optique
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentilles et miroirs
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Doubles fentes
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Réseau
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fente simple
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Méthode
- Identifiez le type de problème : vitesse d’une onde, niveau sonore, onde stationnaire, Doppler, réfraction, lentille ou miroir, ou interférences.
- Écrivez d’abord la relation : v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Convertissez les unités : nm, mm et cm en m, et vérifiez si les angles sont mesurés par rapport à la normale.
- Vérifiez les signes et la vraisemblance : une image virtuelle a dᵢ < 0, une source qui s’approche paraît plus aiguë, un tuyau fermé n’a que des harmoniques impairs.
2Exercices
1.Ressorts et pendulesMoyen
Une masse de 2,7 kg accrochée à un ressort de raideur k = 40 N/m est écartée de 11 cm dans le sens positif et lâchée sans vitesse initiale à t = 0. Trouvez son élongation x par rapport à l’équilibre à t = 1,45 s (avec son signe).
m = 2,7 kgk = 40 N/mA = 11 cmt = 1,45 s
x = cm
2.Ressorts et pendulesDifficile
Une masse de 3,8 kg fixée à un ressort de raideur k = 70 N/m est écartée de 10 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez l’énergie totale E de l’oscillation.
m = 3,8 kgk = 70 N/mA = 10 cm
E = J
3.Ondes, son et optiqueMoyen
Un objet de 4 cm de haut se trouve à 60 cm devant une lentille mince divergente de distance focale 30 cm. Trouvez la hauteur de l’image hi (négative pour une image renversée).
ho = 4 cmdo = 60 cmf = −30 cm
hi = cm
4.Ondes, son et optiqueDifficile
Un capteur de stationnement au repos envoie des ultrasons de 40 kHz vers une voiture qui s’approche à 25 m/s. Trouvez la fréquence f″ de l’écho reçu en retour au capteur (vitesse du son 343 m/s).
f = 40 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz
3Solutions
1.Ressorts et pendules
Réponse: x = 8,398 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsation
ω = √(40/2,7) = 3,849 rad/s
ω·t = 3,849·1,45 = 5,581 rad
Déplacement
x = A·cos(ω·t) = 11·cos(5,581) = 8,398 cm
Réponse
x = 8,398 cm
2.Ressorts et pendules
Réponse: E = 0,35 J
Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².
Pulsation
ω = √(70/3,8) = 4,292 rad/s
Énergie
E = ½·k·A² = ½·70·0,1² = 0,35 J
Réponse
E = 0,35 J
3.Ondes, son et optique
Réponse: hi = 1,333 cm
Optique géométrique : à une interface, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (loi de Snell-Descartes), avec les angles mesurés par rapport à la normale et n = c/v. En entrant dans un milieu plus lent, le rayon se rapproche de la normale. Depuis un milieu plus dense (n₁ > n₂), au-delà de l’angle critique θc = arcsin(n₂/n₁), toute la lumière est réfléchie : réflexion totale interne. Les lentilles minces et les miroirs sphériques obéissent à 1/f = 1/do + 1/di avec le grandissement m = −di/do. Convention de signes : f > 0 pour une lentille convergente et un miroir concave (f = R/2), f < 0 pour une lentille divergente et un miroir convexe ; di > 0 pour une image réelle, di < 0 pour une image virtuelle, et m < 0 pour une image renversée.
Équation de la lentille mince
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−30) − 1/60
di = −20 cm
Grandissement et hauteur
m = −(−20)/60 = 0,3333
hi = 0,3333·4 = 1,333 cm
Réponse
hi = 1,333 cm
4.Ondes, son et optique
Réponse: f″ = 46289 Hz
Ondes stationnaires et effet Doppler : une corde fixée aux deux extrémités, ou un tuyau ouvert aux deux extrémités, contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde : L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tuyau fermé à une extrémité a un nœud à l’extrémité fermée et un ventre à l’extrémité ouverte : L = nλ/4 avec n impair seulement, fn = n·v/(4L). Quand la source ou l’observateur se déplace sur la ligne qui les joint, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) : utilisez les signes supérieurs pour un mouvement de rapprochement. Deux ondes de fréquences presque égales battent à |f₁ − f₂|.
Fréquence au niveau de la voiture
f′ = 40000·(343 + 25)/343 = 42915 Hz
Fréquence de l’écho
f″ = f′·343/(343 − 25) = 46289 Hz
Réponse
f″ = 46289 Hz
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