Ondes et optique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Ressorts et pendules

Masse sur un ressort: T = 2π·√(m/k)
Pendule: T = 2π·√(L/g)
Pulsation: ω = √(k/m) = 2π/T
Vitesse et accélération maximales: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Énergie: E = ½·k·A²

Ondes, son et optique

Vitesse de l’onde: v = fλ, T = 1/f
Corde: v = √(T/μ), μ = m/L
Niveau sonore: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Source ponctuelle: I = P/(4πr²)
Ondes stationnaires: corde ou tuyau ouvert f_n = n·v/(2L) ; tuyau fermé f_n = n·v/(4L), n impair
Effet Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice de réfraction: n = c/v, λ = λ₀/n
Loi de Snell-Descartes: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angle critique: sin θ_c = n₂/n₁
Fibre optique: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentilles et miroirs: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doubles fentes: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Réseau: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fente simple: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Méthode

Identifiez le type de problème : vitesse d’une onde, niveau sonore, onde stationnaire, Doppler, réfraction, lentille ou miroir, ou interférences.
Écrivez d’abord la relation : v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Convertissez les unités : nm, mm et cm en m, et vérifiez si les angles sont mesurés par rapport à la normale.
Vérifiez les signes et la vraisemblance : une image virtuelle a dᵢ < 0, une source qui s’approche paraît plus aiguë, un tuyau fermé n’a que des harmoniques impairs.

2Exercices

1.Ressorts et pendulesMoyen

Une masse de 0,5 kg accrochée à un ressort de raideur k = 460 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 14 cm. Trouvez sa vitesse v quand elle est à 6 cm de la position d’équilibre.

m = 0,5 kgk = 460 N/mA = 14 cmx = 6 cm

v = m/s

2.Ressorts et pendulesDifficile

Une masse de 1,4 kg fixée à un ressort de raideur k = 450 N/m est écartée de 18 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez sa vitesse maximale v_max.

m = 1,4 kgk = 450 N/mA = 18 cm

v_max = m/s

3.Ondes, son et optiqueMoyen

Un tuyau fermé à une extrémité mesure 1,5 m de long. La vitesse du son est de 343 m/s. Trouvez la fréquence f₁ de son fondamentale (premier harmonique).

v = 343 m/sn = 1L = 1,5 m

f₁ = Hz

4.Ondes, son et optiqueDifficile

Une lumière de longueur d’onde 633 nm tombe sur deux fentes distantes de 0,4 mm. L’écran est à 2,5 m. Trouvez la distance y₁ entre la frange brillante centrale et la frange brillante numéro 1.

λ = 633 nmd = 0,4 mmL = 2,5 mm = 1

y₁ = mm

3Solutions

1.Ressorts et pendules

Réponse: v = 3,837 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsation

ω = √(460/0,5) = 30,33 rad/s

Vitesse en x

v = ω·√(A² − x²) = 30,33·√(0,14² − 0,06²) = 3,837 m/s

Réponse

v = 3,837 m/s

2.Ressorts et pendules

Réponse: v_max = 3,227 m/s

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Pulsation

ω = √(450/1,4) = 17,93 rad/s

Vitesse maximale

v_max = A·ω = 0,18·17,93 = 3,227 m/s

Réponse

v_max = 3,227 m/s

3.Ondes, son et optique

Réponse: f₁ = 57,17 Hz

Ondes stationnaires et effet Doppler : une corde fixée aux deux extrémités, ou un tuyau ouvert aux deux extrémités, contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde : L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tuyau fermé à une extrémité a un nœud à l’extrémité fermée et un ventre à l’extrémité ouverte : L = nλ/4 avec n impair seulement, f_n = n·v/(4L). Quand la source ou l’observateur se déplace sur la ligne qui les joint, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) : utilisez les signes supérieurs pour un mouvement de rapprochement. Deux ondes de fréquences presque égales battent à |f₁ − f₂|.

Longueur d’onde de ce mode

λ = 4L/n = 4·1,5/1 = 6 m

Fréquence

f = v/λ = 343/6 = 57,17 Hz

Réponse

f₁ = 57,17 Hz

4.Ondes, son et optique

Réponse: y₁ = 3,956 mm

Interférences et diffraction : la lumière de deux fentes distantes de d atteint un point de l’écran avec une différence de marche d·sin θ. Des franges brillantes apparaissent là où d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Pour un écran à une distance L ≫ d, la m-ième frange brillante est en y = mλL/d et l’interfrange est Δy = λL/d. Un réseau de N traits par millimètre a d = 1/N et des maxima fins pour d·sin θ = mλ ; comme sin θ ≤ 1, l’ordre le plus élevé est le plus grand entier m ≤ d/λ. Une fente simple de largeur a a des franges sombres pour a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Interfrange

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2,5/(0,4 × 10⁻³) = 3,956 mm

Frange numéro 1

y₁ = 1·3,956 = 3,956 mm

Réponse

y₁ = 3,956 mm

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