Ondes et optique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 4 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Ressorts et pendules

Masse sur un ressort: T = 2π·√(m/k)
Pendule: T = 2π·√(L/g)
Pulsation: ω = √(k/m) = 2π/T
Vitesse et accélération maximales: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Énergie: E = ½·k·A²

Ondes, son et optique

Vitesse de l’onde: v = fλ, T = 1/f
Corde: v = √(T/μ), μ = m/L
Niveau sonore: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Source ponctuelle: I = P/(4πr²)
Ondes stationnaires: corde ou tuyau ouvert f_n = n·v/(2L) ; tuyau fermé f_n = n·v/(4L), n impair
Effet Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Indice de réfraction: n = c/v, λ = λ₀/n
Loi de Snell-Descartes: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Angle critique: sin θ_c = n₂/n₁
Fibre optique: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentilles et miroirs: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Doubles fentes: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Réseau: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fente simple: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Méthode

Identifiez le type de problème : vitesse d’une onde, niveau sonore, onde stationnaire, Doppler, réfraction, lentille ou miroir, ou interférences.
Écrivez d’abord la relation : v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Convertissez les unités : nm, mm et cm en m, et vérifiez si les angles sont mesurés par rapport à la normale.
Vérifiez les signes et la vraisemblance : une image virtuelle a dᵢ < 0, une source qui s’approche paraît plus aiguë, un tuyau fermé n’a que des harmoniques impairs.

2Exercices

1.Ressorts et pendulesMoyen

Une masse de 3,1 kg accrochée à un ressort de raideur k = 70 N/m oscille sur une surface sans frottement avec une amplitude de 4 cm. Trouvez sa vitesse v quand elle est à 3 cm de la position d’équilibre.

m = 3,1 kgk = 70 N/mA = 4 cmx = 3 cm

v = m/s

2.Ressorts et pendulesDifficile

Une masse de 1,9 kg fixée à un ressort de raideur k = 300 N/m est écartée de 12 cm de sa position d’équilibre puis lâchée. Trouvez sa vitesse maximale v_max.

m = 1,9 kgk = 300 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

3.Ondes, son et optiqueMoyen

Une machine donne un niveau sonore de 72 dB en un certain point. Trouvez le niveau β en ce point quand 5 machines identiques fonctionnent en même temps (sources incohérentes).

β₁ = 72 dBn = 5

β = dB

4.Ondes, son et optiqueDifficile

Une fibre optique a un cœur d’indice n₁ = 1,62 et une gaine d’indice n₂ = 1,57. Trouvez son ouverture numérique NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,57

NA =

3Solutions

1.Ressorts et pendules

Réponse: v = 0,1257 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsation

ω = √(70/3,1) = 4,752 rad/s

Vitesse en x

v = ω·√(A² − x²) = 4,752·√(0,04² − 0,03²) = 0,1257 m/s

Réponse

v = 0,1257 m/s

2.Ressorts et pendules

Réponse: v_max = 1,508 m/s

Mouvement harmonique simple : une masse m sur un ressort de raideur k oscille avec la pulsation ω = √(k/m) et la période T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendule simple de longueur L a pour période T = 2π·√(L/g). Avec une amplitude A, la vitesse maximale vaut A·ω, l’accélération maximale A·ω² et l’énergie ½·k·A².

Pulsation

ω = √(300/1,9) = 12,57 rad/s

Vitesse maximale

v_max = A·ω = 0,12·12,57 = 1,508 m/s

Réponse

v_max = 1,508 m/s

3.Ondes, son et optique

Réponse: β = 78,99 dB

Ondes : une onde périodique avance d’une longueur d’onde en une période, donc v = fλ avec T = 1/f. Sur une corde tendue v = √(T/μ), avec T la tension et μ = m/L la masse linéique. Le son dans l’air se propage à environ 343 m/s à 20 °C, la lumière dans le vide à c = 3,00 × 10⁸ m/s. Le niveau sonore se mesure sur une échelle logarithmique : β = 10·log₁₀(I/I₀) dB avec I₀ = 10⁻¹² W/m², donc une intensité multipliée par 10 ajoute 10 dB. Une source ponctuelle répartit sa puissance P sur une sphère : I = P/(4πr²).

Intensité totale

I = 5·I₁

Niveau

β = 72 + 10·log₁₀(5) = 78,99 dB

Réponse

β = 78,99 dB

4.Ondes, son et optique

Réponse: NA = 0,3994

Optique géométrique : à une interface, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (loi de Snell-Descartes), avec les angles mesurés par rapport à la normale et n = c/v. En entrant dans un milieu plus lent, le rayon se rapproche de la normale. Depuis un milieu plus dense (n₁ > n₂), au-delà de l’angle critique θ_c = arcsin(n₂/n₁), toute la lumière est réfléchie : réflexion totale interne. Les lentilles minces et les miroirs sphériques obéissent à 1/f = 1/d_o + 1/d_i avec le grandissement m = −d_i/d_o. Convention de signes : f > 0 pour une lentille convergente et un miroir concave (f = R/2), f < 0 pour une lentille divergente et un miroir convexe ; d_i > 0 pour une image réelle, d_i < 0 pour une image virtuelle, et m < 0 pour une image renversée.

Angle critique à la gaine

sin θc = 1,57/1,62 = 0,9691 → θc = 75,73°

Ouverture numérique

NA = √(1,62² − 1,57²) = 0,3994

Réponse

NA = 0,3994

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