1.Facile
Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 7 jours. Un échantillon contient initialement 20 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 18 jours ?
m0 = 20 mgt½ = 7 dt = 18 d
m = mg
3.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 25 °C. Au bout de 17 min, sa température est de 19 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 25 °CT(17) = 19 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une tasse de café à 91 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Au bout de 23 min, sa température est de 35 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 52 °C ?
T0 = 91 °CTa = 24 °CT(23) = 35 °CT = 52 °C
t = min
5.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 9,25y = 92,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + y′ + 9,25y = 92,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 3x2 pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = −1
y(2) =
Corrigé
- 1. r = −2
- 2. m = 3,365 mg
- 3. k = 0,07369 min⁻¹
- 4. t = 11,11 min
- 5. y(0.25) = 2,54
- 6. y(2) = 4,4
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.