1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 5y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 5y′ + 100y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,38 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 10000 cellules ?
N0 = 1000k = 0,38 h⁻¹N = 10000
t = h
3.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 25 °C. Au bout de 22 min, sa température est de 16 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 25 °CT(22) = 16 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 2. Trouvez y(0,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(0.5) =
5.Difficile
Résolvez y″ + 2y′ + 26y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. ζ = 0,25
- 2. t = 6,059 h
- 3. k = 0,04063 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 1,353
- 5. y(1) = 0,338
- 6. ymax = 6,539
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