Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (460·691) mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
(460·691) mod 13 =
2.Facile

Trouvez (631·787 + 173) mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
(631·787 + 173) mod 12 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 6 modulo 23 : le nombre x avec 0 < x < 23 et 6·x ≡ 1 (mod 23).

a = 6n = 23
6−1 mod 23 =
4.Moyen

Résolvez 63x ≡ 18 (mod 73). Donnez la solution x avec 0 < x < 73.

63x ≡ 18 (mod 73)
x =
5.Difficile

59 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 98928 mod 59.

p = 59k = 8928
98928 mod 59 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (217, 13)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 7 et q = 31 et l’exposant public e = 13. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 7q = 31e = 13
d =

Corrigé

  1. 1. (460·691) mod 13 = 10
  2. 2. (631·787 + 173) mod 12 = 6
  3. 3. 6−1 mod 23 = 4
  4. 4. x = 42
  5. 5. 98928 mod 59 = 5
  6. 6. d = 97

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