Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr59=?·52+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(59, 52). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 59b = 52
lcm(59, 52) =
2.Facile
0123mod 4

Trouvez 781 mod 4, le reste r avec 0 ≤ r < 4.

a = 781n = 4
781 mod 4 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 91 modulo 97 : le nombre x avec 0 < x < 97 et 91·x ≡ 1 (mod 97).

a = 91n = 97
91−1 mod 97 =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 42 modulo 97 : le nombre x avec 0 < x < 97 et 42·x ≡ 1 (mod 97).

a = 42n = 97
42−1 mod 97 =
5.Difficile

89 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 664145 mod 89.

p = 89k = 64145
664145 mod 89 =
6.Difficile
mc = me​ mod n379m = cd​ mod n?(n, e) = (391, 17)d

Une clé RSA utilise p = 17, q = 23 et e = 17. Déchiffrez le chiffré c = 379 : trouvez le message m.

p = 17q = 23e = 17c = 379
m =

Corrigé

  1. 1. lcm(59, 52) = 3068
  2. 2. 781 mod 4 = 1
  3. 3. 91−1 mod 97 = 16
  4. 4. 42−1 mod 97 = 67
  5. 5. 664145 mod 89 = 23
  6. 6. m = 362

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