Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
aqbr92=?·58+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(92, 58). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 92b = 58
lcm(92, 58) =
2.Facile
aqbr1008=?·702+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(1008, 702).

a = 1008b = 702
gcd(1008, 702) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(484), le nombre d’entiers de 1 à 484 premiers avec 484.

n = 484 = 22·112
φ(484) =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 3) et x ≡ 2 (mod 7).

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 7)
x =
5.Difficile

43 est premier. Utilisez le petit théorème de Fermat pour trouver 1724471 mod 43.

p = 43k = 24471
1724471 mod 43 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (253, 17)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 11 et q = 23 et l’exposant public e = 17. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 11q = 23e = 17
d =

Corrigé

  1. 1. lcm(92, 58) = 2668
  2. 2. gcd(1008, 702) = 18
  3. 3. φ(484) = 220
  4. 4. x = 16
  5. 5. 1724471 mod 43 = 35
  6. 6. d = 13

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