Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr637=?·195+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(637, 195).

a = 637b = 195
gcd(637, 195) =
2.Facile
aqbr372=?·48+??=?·?+??=?·?+?

Utilisez l’algorithme d’Euclide pour trouver gcd(372, 48).

a = 372b = 48
gcd(372, 48) =
3.Moyen

Résolvez 51x ≡ 10 (mod 73). Donnez la solution x avec 0 < x < 73.

51x ≡ 10 (mod 73)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 20 modulo 71 : le nombre x avec 0 < x < 71 et 20·x ≡ 1 (mod 71).

a = 20n = 71
20−1 mod 71 =
5.Difficile

Utilisez le carré répété pour trouver 13162 mod 51.

a = 13k = 162n = 51
13162 mod 51 =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (481, 19)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 37 et l’exposant public e = 19. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 37e = 19
d =

Corrigé

  1. 1. gcd(637, 195) = 13
  2. 2. gcd(372, 48) = 12
  3. 3. x = 46
  4. 4. 20−1 mod 71 = 32
  5. 5. 13162 mod 51 = 16
  6. 6. d = 91

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