Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
aqbr58=?·47+??=?·?+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(58, 47). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 58b = 47
lcm(58, 47) =
2.Facile
01234567mod 8

Trouvez (−55) mod 8, le reste r avec 0 ≤ r < 8.

a = −55n = 8
(−55) mod 8 =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 3) et x ≡ 8 (mod 13).

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 8 (mod 13)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 27 modulo 29 : le nombre x avec 0 < x < 29 et 27·x ≡ 1 (mod 29).

a = 27n = 29
27−1 mod 29 =
5.Difficile

Résolvez 15x ≡ 30 (mod 40). Donnez la plus petite solution positive x.

15x ≡ 30 (mod 40)
x =
6.Difficile
178c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (1591, 13)d

Chiffre le message m = 178 avec la clé publique RSA (n, e) = (1591, 13). Trouvez le chiffré c.

n = 1591e = 13m = 178
c =

Corrigé

  1. 1. lcm(58, 47) = 2726
  2. 2. (−55) mod 8 = 1
  3. 3. x = 34
  4. 4. 27−1 mod 29 = 14
  5. 5. x = 2
  6. 6. c = 522

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