Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez 905² mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
905² mod 12 =
2.Facile
aqbr156=?·84+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(156, 84). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 156b = 84
lcm(156, 84) =
3.Moyen

Trouvez l’indicatrice d’Euler φ(35), le nombre d’entiers de 1 à 35 premiers avec 35.

n = 35 = 5·7
φ(35) =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 17 modulo 79 : le nombre x avec 0 < x < 79 et 17·x ≡ 1 (mod 79).

a = 17n = 79
17−1 mod 79 =
5.Difficile
mc = me​ mod n241m = cd​ mod n?(n, e) = (377, 13)d

Une clé RSA utilise p = 13, q = 29 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 241 : trouvez le message m.

p = 13q = 29e = 13c = 241
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (299, 7)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 13 et q = 23 et l’exposant public e = 7. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 13q = 23e = 7
d =

Corrigé

  1. 1. 905² mod 12 = 1
  2. 2. lcm(156, 84) = 1092
  3. 3. φ(35) = 24
  4. 4. 17−1 mod 79 = 14
  5. 5. m = 332
  6. 6. d = 151

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