Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (398·684) mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
(398·684) mod 13 =
2.Facile
01234567891011mod 12

Trouvez 749 mod 12, le reste r avec 0 ≤ r < 12.

a = 749n = 12
749 mod 12 =
3.Moyen

Résolvez 14x ≡ 17 (mod 19). Donnez la solution x avec 0 < x < 19.

14x ≡ 17 (mod 19)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 3 modulo 23 : le nombre x avec 0 < x < 23 et 3·x ≡ 1 (mod 23).

a = 3n = 23
3−1 mod 23 =
5.Difficile
mc = me​ mod n8m = cd​ mod n?(n, e) = (85, 13)d

Une clé RSA utilise p = 5, q = 17 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 8 : trouvez le message m.

p = 5q = 17e = 13c = 8
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (55, 7)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 5 et q = 11 et l’exposant public e = 7. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 5q = 11e = 7
d =

Corrigé

  1. 1. (398·684) mod 13 = 12
  2. 2. 749 mod 12 = 5
  3. 3. x = 8
  4. 4. 3−1 mod 23 = 8
  5. 5. m = 43
  6. 6. d = 23

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