Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
aqbr735=?·546+??=?·?+??=?·?+??=?·?+?

Trouvez le plus petit commun multiple lcm(735, 546). Utilisez d’abord l’algorithme d’Euclide pour le pgcd.

a = 735b = 546
lcm(735, 546) =
2.Facile

Trouvez (681·171 + 468) mod 13 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 13
(681·171 + 468) mod 13 =
3.Moyen

Trouvez l’inverse de 7 modulo 90 : le nombre x avec 0 < x < 90 et 7·x ≡ 1 (mod 90).

a = 7n = 90
7−1 mod 90 =
4.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 7) et x ≡ 5 (mod 8).

x ≡ 1 (mod 7)x ≡ 5 (mod 8)
x =
5.Difficile
mc = me​ mod n144m = cd​ mod n?(n, e) = (247, 11)d

Une clé RSA utilise p = 13, q = 19 et e = 11. Déchiffrez le chiffré c = 144 : trouvez le message m.

p = 13q = 19e = 11c = 144
m =
6.Difficile
mc = me​ mod n20m = cd​ mod n?(n, e) = (893, 13)d

Une clé RSA utilise p = 19, q = 47 et e = 13. Déchiffrez le chiffré c = 20 : trouvez le message m.

p = 19q = 47e = 13c = 20
m =

Corrigé

  1. 1. lcm(735, 546) = 19110
  2. 2. (681·171 + 468) mod 13 = 10
  3. 3. 7−1 mod 90 = 13
  4. 4. x = 29
  5. 5. m = 235
  6. 6. m = 837

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