Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire avec corrigé

Fiche d’exercices de Théorie des nombres et arithmétique modulaire gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile

Trouvez (195·578) mod 12 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 12
(195·578) mod 12 =
2.Facile

Trouvez 719² mod 7 sans développer les grands nombres : réduisez d’abord.

n = 7
719² mod 7 =
3.Moyen

Trouvez le plus petit entier positif x tel que x ≡ 1 (mod 8) et x ≡ 2 (mod 13).

x ≡ 1 (mod 8)x ≡ 2 (mod 13)
x =
4.Moyen

Trouvez l’inverse de 73 modulo 80 : le nombre x avec 0 < x < 80 et 73·x ≡ 1 (mod 80).

a = 73n = 80
73−1 mod 80 =
5.Difficile
mc = me​ mod n112m = cd​ mod n?(n, e) = (247, 11)d

Une clé RSA utilise p = 13, q = 19 et e = 11. Déchiffrez le chiffré c = 112 : trouvez le message m.

p = 13q = 19e = 11c = 112
m =
6.Difficile
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1189, 23)d = ?

Une clé RSA utilise les nombres premiers p = 29 et q = 41 et l’exposant public e = 23. Trouvez l’exposant privé d (0 < d < φ(n)).

p = 29q = 41e = 23
d =

Corrigé

  1. 1. (195·578) mod 12 = 6
  2. 2. 719² mod 7 = 4
  3. 3. x = 41
  4. 4. 73−1 mod 80 = 57
  5. 5. m = 44
  6. 6. d = 487

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